FORMULES INCOMPLÈTES DE SECONDE ESPÈCE

XL VIII. — Deux suites régulières.

Déjà en i856, Knar ( ' ) a découvert deux formules récursives qui ne contiennent que des nombres de Bernoulli, dont les indices sont des nombres pairs, respectivement impairs; cependant cette belle découverte est restée inaperçue pendant un quart de siècle.

En même temps que Knar, Kronecker (-) a trouvé des développemenls généraux qui donnent facilement des formules récursives pour les nombres de Bernoulli et les coefficients des tangentes, dont les indices forment une série arithmétique quelconque. Cependant l'illustre géomètre allemand n'a pas observé les formules en question; du reste, il ne semble pas possible de les déduire par une méthode élémentaire, parce qu'elles ne sont pas régulières (^).

Dans les paragraphes suivants nous avons à étudier de telles formules récursives pour les nombres de Bernoulli, les coefficients des tangentes et les nombres d'Euler, dont les indices forment une suite arithmétique quelconque, formules que nous désignons comme formules récursives incomplètes de seconde espèce.

Soient, à cet effet,

des nombres complexes différents de zéro, mais quelconques du reste, nous formons d'après Kronecker toutes les 2^~* expressions

(') Archiv de Grunert. l. 27, i8.j(), p. /|J5-436.

(-) Journal de Malhématique% pures et appliquées^ n.' série, t. 1, i85C, p. 3'v')-

(') Berichte der kgl. sâchs. Gesellschaft der Wissenschaften, t. Go, 191 ■'i, p. 25.

'^^" CIIAI». X. — KOR.MlJj;s INCOMPI.KTES DK SECONDE KSPECK. r()(>

lenues ac

21 z!= aj^r a-.

^^R^combinant les signes + et — d une manière quelconque. HPÇSupposons ensuite qu'une certaine de ces expressions (o, choisie

arbitrairement du reste, contienne p signes positifs et q signes

^M';;atifs, de sorte que

nous désignons q comme le nombre caractéristique de to, et il est (•vident que le nombre — to aura le nombre caractéristique y;.

Ces définitions adoptées, nous démontrerons sans peine le ili('orème :

Les deux fonctions

r„(.)=;Lyi

I zh Z) I

ir:a,=ba.:+:.,

/ les sommations sont à étendre sur les u'' ' expressions possibles des co, et où cj désigne le nombre caractéristique de l'expression correspondante, sont des polynômes réguliers du

Il est évident que Fn(x) et G„{x) forment des suites harmonir|iips: de plus, l'identité évidente

montre, en vertu de (2), que les deux polynômes en question sont symétriques aussi; c'est-à-dire que F„(x) et G,i{x) sont tous deux des polynômes réguliers.

Cela posé, il ne nous reste qu'à démontrer que G,i(x) est préci- ~i tnent du degré n par rapport à x, parce que ¥f,(x) a évidemment ' I ite propriété.

A cet effet, posons

200 DEUXIEME J'AUTIË. — LES NOMBRES DE BEnN'OULLI ET D EULER.

je dis que nous aurons

( 7 ) //. ,A-i ( -^ ) = Xj a. a:, . . . a/,„ 1 .

En eftel, il est évident que ces deux formules sont vraies pour le z=z 2, parce que nous aurons

Quant à la conclusion de k à /» H- i , nous ajoutons à l'ensemble (i) le nouveau nombre a*; supposons ensuite que l'expression to, formée de l'ensemble (i), ait le nombre caractéristique q, les expressions w H- a/t et w — ol^ auront les nombres caractéristiques ^/, respectivement r/ -\-\. De plus, nous aurons évidemment

et la formule de Tajlor donnera la formule récursive

ce qui nous conduira immédiatement au but. Posons ensuite pour abréger

et particulièrement

nous aurons généralement, quel que soit l'indice n.

Quant aux sommes de puissances alternées

2^ ( ij'/(, :=- a, =t a, z'z... :c a/,, )'«,

CHAP. X. — FORMULES INCOMPLETES DE SECONDE ESPECE. 'iO I

rlles s'évanouissent pour o^m^A— 2, de sorte que nous posons ic (jul donnera, quel que soil l'indice n, Soit particulièrement /? = o, il résulte

d'où, en vertu de (-),

(10) j„ = ( A- — I ) ! 'A^'-' xi X2 . . . a/,.- 1.

Remarquons ensuite que ij^ix) s'évanouira pour j? := , il

résulte

ce qui donnera, en vertu de (10), I 1 1) 7i = A! •2/'-' 7-1 a., . , . a/, ,.

Posons encore

nous aurons de même

' '" \ ■}. I ( A- -^ 2 /t — I ) ! ■>.A^-*« 1 ' d'où particulièrement, [)arce que Go(^) a une valeur constante,

( I I ) To = Jo = ( /.■ — 1 ) ! i^-' a, a. . . . 2/,, .

•}.<y}. DKUXIKME PARTIE. — LES NOMBRKS DK BKRNOLLLI KT D El LKR.

Cela posé, nous aurons

ce qui donnera les développements d'après les fonctions de Bernoulli

tandis que les développements, d'après les fonctions d'Euler, de- \iennent

Nous ne nous arrêtons pas aux nombreuses formules récursives, obtenues pour les B„, T„, E/,, en introduisant, dans les quatre développements, les valeurs spéciales ordinaires de x.