XLIX. — Théorèmes sur les racines de l'unité

Dans les développements précédents, les k — i quantités a^ sont des nombres complexes quelconques, différents de zéro. 11 est très intéressant, ce me semble, que les formules générales que nous venons de développer se présentent sous une forme élégante dans le cas où les a^ sont des racines de l'unité.

Quant à l'étude de ces formules simples, nous prenons pour point

CHAP. X. — FORMULES INCOMPLIÎTKS DK SECONDIi ESPACE. 2o'i

(le dt'|)aii les deux polynômes entiers

(I) cp„(^) = n![F„(j-)-^(-i)"F„(-a:)], .

{■?.) 4/„,(a') = (« -^-/ — I)! fG«(x) — (— i)«G„(' .rjj,

savoir, ordonnés d'après les puissances descendantes de x.

Soit ensuite, avec une légère modification de la définition (2) du jiaragraplie précédent,

to = I rh ai li:: «2 + . . . r~ a/.- j ,

on aura en outre

-li^-ÏÏ-l(:'-'iï

où çr est le nombre caractéristique de co, savoir le nombre des signes négatifs dans l'expression susdite.

Cela posé, nous avons tout d'abord à démontrer le théorènu; :