I. Soit a une /acine primitive de V érj nation binôme

(7) .H— 1 = 0, et soient les nombres a,, les j)uiss(inces

/e5 polynômes On{x) et '}„,(a7) satisfont aux équations fonctionnelles

■iO/i DKtXiÈMK PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOUI.LI ET d'eUI.ER.

En effet, on aura, en vertu de (5) et (6),

(II) a" i<];„.,(^-j :=2,^-')'/(-^+— j -2d^~""V^~T)

car on aura, en vertu de (^), a*=:i; dans ces deux formules, le nombre o) est une expression de la forme

w = i± a=n a^i o?±. . .zh a'-^-»,

OÙ /> des puissances de a ont le signe +, ^ le signe — , de sorte que

Soit maintenant (o de la forme

on aura, en vertu de {'j),

m' = aw — y. Tiz «2 y,3 . a''-' -i- i ;

c'est-à-dire que les nombres/) et q sont les mêmes que dans to. Soit, au conti'aire, to de la forme

M = I rc a ±: a* dt . . . zn a*-- — a'" - ' , on aura

aw = a — a^ zb «3 ±: . . . :±: a'' ■ i — i = — w',

de sorte que p-\-i des puissances de a qui figurent dans oi' ont le signe — I, q — i le signe +; c'est-à-dire que le nombre caractéristique de w' est égal à y> + i .

Cela posé, il est évident que les termes qui figurent aux seconds membres de (lo) et (i i) sont, abstraction faite du signe, les mêmes que dans les formules (5) et (6); de plus, nous venons de démontrer que les signes seront les mêmes, ce qui donnera les deux formules (g).

Appliquons maintenant les deux expressions (3) et (4), nous aurons, en vertu de (9),

■S-T,,.— 7.^'' Si,.-, ^2r+I = 3t*'"'^îr-i-l»

ce qui donnera le ihéorème suivant :

c:ilAl>. \. — l'OK.MULES INCOMIM.KTES UE SECONDK ESPECE. 20î

II. Supposons choisis^ comme indiqué dans le théorème /, les nombres a,, puis supposons que ir ne soil pas divisible par k^ nous aurons

Comme analogie du théorème I, nous avons cet autre :