CHAI'. X. — FORMULES INCOMPLETES DE SECONDE ESPECE. M

tandis que les deux autres développements de ce genre ne sont pas susceptibles d'une telle simplification.

Soit maintenant, dans ces deux, formules, /t <^ a/», les sommes qui figurent aux seconds membres se réduisent à leurs premiers termes; apj)liquons ensuite les deux valeurs

dont la première est évidente, tandis que la seconde est une consé- <[uence immédiate de la formule (ii) du paragraphe XLVJII, il résulte les deux expressions explicites

L'hypothèse n^=2k donnera, en vertu de (3) et (4), ces deux expressions explicites, plus compliquées que les précédentes,

Nous ne nous arrêtons pas aux formules récursives incomplètes qui proviennent des développements (3) et (4) et qui sont du reste évidentes, (^uant aux expressions explicites (6), introduisons, dans

la première, in au lieu de n, puis posons ^ = o, x ^ — -> nous aurons respectivement

S i—i)"{->.nV. <Tj„

Posons ensuite, dans la dernière des formules (6), 2/1 + ' respectivement 3/i au lieu de «, les hypothèses x = o, respectivement

x = — -, donnent les deux autres expressions explicites

20S DICfXlÈME PARTIK. — LES NOMBRES DE BKRNOULLI ET DEULER.

Adclilionnons, puis soustrayons les deux formules (8), nous aurons respectivement

( j (— I )" ( '2 /l — I ) ! ( Cîn — -j,, ) y " ~ ( 2 /» -+- -2 A- — I) ! •22/'-«" '

) jj^ ^ (-\)"(->.n)\(^,n-^^iu) (. " ( 2 rt -H 2 A — i) ! •2^/'^

Dans les six dernières formules il faut supposer n^k — i ; en appliquant les formules (7), on pourra obtenir des expressions ex|)licites pour les nombres B^, T;v, E;t» expressions qui deviennent j^lus compliquées que les précédentes, de sorte que nous ne nous arrêtons pas à leur déduction.

Etudions maintenant le cas le plus simple des développements précédents, savoir /r = 2, nous aurons

«! r,j(.r) = i(x -Jr- 1)" -h -ACC-i- (j- -i- I -f- /)"

-^ (x — £/'-+- (x -h 1 — i)" -i- (x -!- t;", (n-h 3)! Gn(^) = 2iF"+*— '2(ar-l-r)"+3-+- (a; + n- i y^^-^

— (x — i)n+^-+- (x -i-i — i)"-+-^—(x -Jr /)"+».

Appliquons ensuite légalité évidente

il résulte

(m - . tnr. '" ^' (ni-\-Z)-\ — I-HC05 sm h 2 - COS ; ■1 2 4 y

de sorte que nous aurons

\ Vn{x) = iG Knior) -,- y ^'^^~'f,"'"'"' \-:,r-,s(^), I •^'" V -I •* j •

CIIAP. \. — lOn.Mll.KS INCOMPI.KTES DK SECONDE ESPECE. 209

Cela |)»»>L', nous aurons les formules récurslves incomplètes

•2'"-^'-(- (- 1)" ■,«"-*= T,„-4- 2 ( '' " 7 ') [•'*•*' ^- (- ')' •^'■^-MTî'.-2.<î = l ï = n — 1

tandis que les expressions t,„ et t„i, et par conséquent les formuler inconq^lètes pour les E„, deviennent plus compliquées.

Les quatre formules spéciales (12) et (i3) sont déduites par \l. ITaussner (' ). à l'aide d'une méthode transcendante.