LI. — Formules de seconde classe

.Soit ensuite, conformément à la remarque finale du paragraphe \LI\. 7. une racine primitive de l'équation binôme

nous avons à chftisir l'ensemble des nombres a, comme les puis-

■-iinc<'s

((• qui donnera, en vertu des formules {16) du paragraphe XLIX, p'^ Q

j 'il

(•) G'Htinger Nac/uichte/i, i8();i, p. S09.

MEI.S NIELSF.N 14

210 DEUMKMi; l'AUllE. — LES NOMBHES DE BERXOL'LLI ET DEILER.

tandis que les aiilres développements de ce genre ne sont pas susceptibles d'une telle siniplifieation.

La définition des ni)ini)r(> a, donnera

/,i/, — 1) ai 22 . . . a/,— 1 = % - — (db t)''-',

de sorte que nous aurons ici

5o = '^J/'- 1 , 7, = /• ! ( ri= 2 0''"' •

Soit ensuite n <i'2.k, nous aurons, en vertu de (2), les expressions explicites

/ V.ni^r ) = -—Tj—'

tandis que l'hjpothèse n^ ik donnera ces deux autres expressions explicites, plus compliquées que les précédentes,

' ( H,,(^)= ihiiflL '^^^■^' ,

( '^^^'■^'^)- — Tï (.2/0!. <•/'•■

Les formules récursives incomplètes et les expressions explicites, tirées des formules générales (2), (3), (4), pour les B,j, T« et E„, forment les parties principales du beau Mémoire de M. ilaussner ('). Or, van den Berg (^) a trouvé, douze ans auparavant, les formules susdites qui contiennent les nombres de Bernoulli, tandis qu'il a indicjué quelques cas spéciaux des autres formules pour les T„ et les E/j.

Quant aux expressions explicites que nous venons de développer, M. Ilaussner (^) dit à juste titre qu'elles sont plus simples que celles (le Kronecker ( '*). Nous pouvons ajouter que les formules

(') Golliiiger Nachrichten, 1898, p. 777-809.

(^) Verslagen en inededcelingen der Koninlijke Akademie Amsterdam, i« série, t. 16, 1881, p. 89. Il est très i-egreltable, ce me semble, que le collaborateur du Jahrbuch iïber die Fortschritte der Mathematik, t. 13, p. igS, ne dit rien sur l<a nature de ce Mémoire très remarquable.

('0 Loc. cit., p. 795.

{'') Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2" série, t. 1, i85(J, p. 385-391.