Il vpothèse a ^^ — i donnera (h; même, en vertu de

>l DKLXIEME PAUTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULM ET I) EULER.

(' sorte que nous aurons dans ce cas

les deux formules (4) f't (5) sont observées par Lipschitz ('). Appliquons ensuite la formule

(a? -4- 1)«+ ar" — I

SnTTTTît"»-"*-)-"— (">!■

plus générale que (3 ), nous aurons de même

^ ,/ r^ Quant à la formule (2), on aura, en vertu de la formule (21 ) du

p'»''r paragraphe XXXVl,

(8) '^''-'r^^'' =^r:,)^n-..ip~^^

(9) i->P-'r-^i-')"=^{^,.) '^n-ir(p-i)-

•i" l*osons, dans (i) et (2), a: = o, puis remplaçons, dans(i}, n par n — i, il résulte, après une légère modification,

( ') Comptes rendus, t. 86, 1878, p. 1 19-121.

ClIAP. XI. — D AUTRES FOa.Ml'LhS INCOMPLETES.

tandis quo riivpolhèse :r = — - donnera

,'«(, -H a") 4- y I— I)*- ( " V 1 — a)*-'(i -^ a"-îO '^^''-^^E^:

= 2 (-'>'( ".;:')"-''"'■—"-") ii

Les Uois premières de ces cinq formules sont indiquées par Hermite(') et démontrées, à l'aide des formules sommatoires, par Stieltjes(-).

3" Posons, dans(ioj et(i3), a = /, nous retrouvons les deux formules de Knar que nous venons de développer dans le paragraphe LI.

i" Supposons, dans (i), et dans ( 2 )

où A désigne un positif entier quelconque, il est évident que les fonctions B,j/fc^^, (x), respectivement E„a^(j7), disparaîtront des formules ainsi obtenues, ce qui nous conduira à des formules récur- >ives pour les B„, T„, E„, dans lesquelles manquent les nombres dont les indices forment une suite arithmétique.

On voit que les formules de Knar sont à regarder comme les représentants les plus simples des formules de ce genre,

(') Coiiespoiiddiice d'Hermile et de Slieltjcs, t. 2, p. '|3G, \'yî. (■) Loc. cit., p. '|37-'|3^-

MKLS MI'XSKN

mxmm xii.