LV. — Développements de première espèce

Il me semble un peu difficile de définir nelLement ce qu'il faul entendre par l'idée d'une iiidependenle Darstellung; c'est pourquoi je préfère de remplacer l'idée susdite par expression explicite et de remarquer que les développements que nous avons à déduire dans le Chapitre présent ont cette propriété de même que les développements donnés dans les paragraphes L et Ll. - jç^' En premier lieu, prenons pour point de départ la formule (9) du

paragraphe \ 111 :

<■ — ft \ s / \ m -

lf(^-s^)-/(li)],

où f{x) est un polynôme entier du degré //, et où il faut supposer m^n^ tandis que x, a, ^ sont des variables complexes quelconques, telles que a^ o. Posons, dans cette formule,

nous aurons par conséquent

lï.C^-^a.J.

Soit maintenant tout d'abord a égal au positif enlici' />, il résulte, ' llf^ ' en vertu de la formule (2 bis) du paragraphe KXX\ 1,

,-=1 \ .s J \ in — sj

CIIAP. XII. — EXPRKSSIONS EXPLICITES. ■*.ï']

on voit que le cas le plus simple de celte formule correspomi à ^ = o, m = /i.

Posons ensuite, dans (i), n-\-i au lieu de /*, cherchons les dérivées par rapport à x des deux membres de la formule ainsi obtenue, puis posons x = o, nous avons, en l'emplacant [5 par — V— \ , puis multipliant par ( — i)",

où il faut supposer })ar conséquent m^n-\-i.

Supposons de nouveau a égal au positif entier p. la formule (2) du paragraphe X\ WI donnera

posons ensuite, dans (3), a==/>-f-i, puis soustrayons la formule ainsi obtenue de (4), il résulte

Wnix)^ 7 :

On voit que la formule la plus simple de ce genre est la formule suivante

obtenue de (5) en y posant /> = 0, m = /< -h i. Déplus, on voit que les trois dernières formules générales donnent un grand nombre d'expressions explicites pour des B„, T„ et E„, si nous introduisons

Nous nous l>ornerons à étudier le premier de ces cas spéciaux, savoir.r = o; remplaçons encore n par 3/?, il résulte, en verlii

27.8 DKUXIEMK PARTIE. — MÎS NOMBRES DE BËUNOl'LLI ET D lit'LER.

de (4),

où il faut supposer par conséquent m^2n-\-i. La formule la plus si)uple de ce genre, savoir

est due à Kronecker ( ' ).

Quant aux fonctions d'Euler, nous obtenons des résultats analogues aux précédents.

En effet, posons, dans (4) et (5), /? -|- i au lieu de /? et

au lieu de x, puis soustrayons les deux équations ainsi obtenues, il U^^^ ' résulte, en vertu de la formule (7) du paragraphe XVI,

(,) ,E,,.)^:s^(;r""(::or^-

où il faut supposer par conséquent in^n-\-\. La formule la plus simple de ce genre est évidemment

Posons, dans les trois dernières formules, X =■ o, X — — -

il résulte des expressions explicites pour les 'T„ et les E,^ ; nous nous bornerons à étudier deux de ces hypothèses.

(") Journal de Crclle, t. 9i, i883, p. y68-2G,).

CHAP. XII. — EXIMIESSIONS l-XPLICITKS. 'r2()

Soit tout d'abord x=o. nous posons, dans (9), 2« — 1 à la place de //, ce qui donnera

OÙ il faut supposer par conséquent m^j.n] soit p = \, on aura la plus simple des formules de ce genre

Quant à l'hypothèse a; = » nous posons, dans (9), in au lieu

de n, ce qui donnera

Mi) 1 //n-i)pE„=2j ^ ( qp'tn+xi-^pq),

où il faut supposer par conséquent m ^2/1 ^ \ . Soit/; = i , on trouve la formule la plus simple de ce genre