LVI. — Développements de deuxième espèce
Prenons ensuite pour point de départ les formules (2) et (3) du / ^^
paragraphe IX, savoir ^
où il faut supposer ni^n, nous aurons ces deux développements
•?3o DELXlÈMIi PARTIE. — LES NOMBRES DE UERNOULM ET d'eL'LI
«les loiulions de Bernoulli
(4} «![IW.(.r-a)-IW.(-a)] = V(,). .Y^+^*VA.,^a).
En effet, ropéralioii A conduira de (3) et (4) à (i) et (2) respectivement; soit ensuite, dans (4), x =z o, la formule donnera une identité évidente. Quant à (3), l'hypothèse ic =: o donnera cette autre identité :
Posons tout d'abord, dans (3) et (4), x-\-p au lieu de .r, où p désigne un positif entier, puis soustrayons les formules ainsi obtenues, il résulte respectivement
ce qui donnera pour a = 0, m = fi,
<^) -<™)=|[rT:r')-(::.')]'^"' ' ,s, ..(-.,/.)=f(-o«-[c-::7V(:::)]'«-
d'où, en posant x = 0,
car Jm" (a j s'évanouira avec a.
CHVP. \II. — KXPRESSIO.NS EXPLICITES. iil
l.a lorimile {g) est dénionirée dans tonte sa généralité par Kramp ('), tandis que Fermât a appliqué des cas spéciaux de cette formule pour déterminer les premières des sommes S„{p). Puiseux (2) a développé la formule générale (7) sans connaître évidemment ni la formule de Kramp, ni la formule beaucoup plus ancienne obtenue de (1) en j posant a= o.
Posons encore, dans (5), .r = — a, puis introduisons x au lieu de a, il résulte la formule curieuse
^»<-)=i[CT;T^)-(:r)]-«
tandis que la formule (()) donnera, pour x = a, le développement analogue
Quant aux fonctions de Bernoulli, nous aurons, en posant, dans (3) et (4), a = o, puis remplaçant m par «,
04) «:[B„+,(:r)-lW,(o)]=2(-i)«-'(^;^*)=^iS
foruiules qui sont dues à Worpitzky (^). '
11 est évident du reste que la formule (14) est une généralisation de la formule (9) de Krauip; néanmoins, la formule de Worpitzky est une conséquence immédiate de celle de Kramp, parce que cette dernière formule est valable pour une valeur quelconque du positif entier p.
Clierchons maintenant les dérivées des deux membres des for-
(') Hiiidenburg coinb. analyt. Abhandlungen, t. 2, p. 365. Leipzig, 1800. (-) Journal de Malhéinatùjues pures et appliquées, t. 2, 184C, p. 'j77-488- (5) Journal de Crelle, t. \)\, 1SS3, p. 2<)3-232.
f.'yi. DEUXIEME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'euLEK.
mules (3) et (4), il résulte
(i6) - nlB„f:r-a)=2(-')"-^D,,[(^^^^''^jx;'(a),
d'où en posant a? =: o, puis remplaçant a par .r,
(17) , n\K,{x) = .\.'i{x)+^t^^yX.-^x),'
Posons encore, dans (i(3), x = ^ ^ il résulte
où nous avons posé pour abréger
Quant aux fonctions d'Euler, nous posons, dans (3) et (4),
X au lieu de ic, ce qui donnera, en vertu de la formule (7) du
paragraphe XVI,
(.1, ^E„(.^ + aa) = >;| (:--;)-( - ■ 2 \\X'i{y-)
posons ensuite a = o et — au lieu de x. il résulte des développements deE„(a;).
On peut déduire d'autres expressions de ce genre en prenant pour point de départ la formule (21). En effet, posons, dans cette formule,
ClIAl». \II. — I \l>RESSIONS EXPLICITES. >33
./ s [luis remplaçons a par — > il résulte
tandis que l'hypothèse r donnera, si nous remplaçons a
par
Ji'^-)=|(i>K^)-
Quant à la formule (22), posons en premier lieu x= , pi
remplaçons a par —, nous aurons
ll-E„(.r)=^l.;
posons ensuite x = o, puis introduisons ^- au lieu de a. il résulte
la formule analogue
■iG)
Il est évident que l'on pourra déduire un très grand nombre d'autres formules de ce genre, cependant nous nous bornerons aux formules précédentes parce qu'elles sont les plus simples.
Introduisons ensuite, dans les formules que nous venons de développer, les valeurs spéciales ordinaires de x, nous aurons évidemment un très grand nombre d'expressions explicites pour les B„, T.. E,.
Or, de telles formules ne représentent qu'un intérêt médiocre, parce qu'elles ne donnent généralement aucun résultat d'un intérêt véritable pour les nombres en question. C'est pourquoi nous nous bornerons à ces indications et à quelques remarques historiques.
Laplace (') a donné, le premier, deux expressions de ce genre
(') Mémoires de l'Académie Royale des Sciences pour l'année 1777, p. 109-110 '1780).
>34 niîUXlKME l'AiniE. — I.KS NOMBRES OE l!i:ilNOLLLI ET o'eULER.
pour les coefficients des tangentes ; d'autres expressions analogues sont données [)arllerschel ( ' ) et Scherk (-) et par beaucoup d'autres géomètres, par exemple Worpitzkj (^ } et van den Berg ( '' ).
