LVIII. — Développements de quatrième espèce

9 1? Il nous reste encore à étudier la formule (lo) du paragraphe IX.

savoir

formule qui nous conduira immédiatement à cette autre

car l'opération A donnera la formule (i), et nous aurons de plus, en posant, dans (2), x ■= o

(— i)"'a"::^ii'.);;;f, (a),

ce qui est une conséquence immédiate de la formule (17) du parais « '•^ ' graphe IX, si nous y posons p = o.

Soit particulièrement, dans (2), a = o, il résulte

(3) (~i)— «n!fB„^,(^)-B„,,ro)]=2(,»+0"''"'""'

le cas particulier m =: n de cette formule appartient à Worpilzky (' ).

Posons maintenant, dans la formule fondamentale (2). j7+a-(-/?, puis X -{- a. à la place de x^ où p désigne un positif entier, nous

(') Journal de Crell'e, t. 94, i883, p. oo3.

CllAl'. Xll. — KXI'HESSIONS EXPLICITKS.

lurons. en soustrayant les deux formules ainsi obtenues,

'où, en posant a: =^ o, puis introduisant j[- au lieu de a, la formule ;urieuse

jr = 0

;e (|ui donnera pour x = o, //i = ii

iti>f'"(^),

II!,;'

)rmule qui estanalogue à celle de Kramp. savoir la formule (9) du )aragraphe \XÎ-

Gherclions ensuite les dérivées des deux membres de la formule Fondamentale ( 2 ), nous aurons

'où, en posant x ^^ — 1 , puis introduisant x au lieu de a,

«! B„(x) = X,„+, ill,;""(a.- ) -^ V

\ y s\{in — s ) !

llî,-f (^),

>ù À,„+i est la somme définie par la formule (2oj du paragraphe L^ 1, Posons encore, dans (^), .r -= o, puis remplaçons a par x-\-\. lous aurons celte autre formule, analogue à la précédente,

[9) n\ B„ (./■ ) = x,„+, \ii,;;iv", <; :c 4- 1 ) ^^

( — iys\( 1)1

Quant aux fonctions d'Euler, posons, dans la formule fonda- Inenlale (2), x — - au lieu de x^ puis soustrayons les. deux foruiulcs Biisi obtenues, nous aurons, en vertu de la formule (7) du para-

238 DEUXIÈME PAUÏIE. — LES NOMIIKKS DE BERNOILLI ET d'eUI.ER.

f'^ graphe XVI,

Posons maintenanl, dans (lo), x = — -> puis introduisons a* à là place de 2 a, nous aurons

Lundis que Thypothèse x =z o donnera, si nous remplaçons a a? -+- 1

Introduisons ensuite, dans (10), .r = a, puis posons 2n — i au lieu de n, il résulte la formule curieuse

s — m +ip ^ I \ "

1)Uf'2"-»(^)

Remplaçons, dans les formules générales que nous venons de développer, x par les valeurs spéciales ordinaires, nous trouvons un très grand nombre d'expressions explicites des nombres B„. T„. E„, expressions dont Worpitzky (') a développé quelques-unes.

Or, les formules en question ne présentant qu'un intérêt médiocre, nous nous ])ornerons à citer seulement les deux suivantes :

(') Journal de ('relie, t. 'J'i. i^Si, p. .hj.I

CHAP. XII. — EXPRESSIONS EXPI.ICIIES. 'i'ig

obtenue d«' (8) en y posant x == o. puis remplaçant // par 2//, et

>blonue de (i'^) en y posant x = o