CHAPITRE XIII
DE LA NATURE DES NOMBRlîS DE BEUNOULLI.
LIX. — Théorème de von Staudt et de Clausen. i^osons, dans ridentité
(j; + !)" + ' = 37" + ! -(- ( )x"^. ..-^ i jX-Jrl
successivement
puis ajoutons toutes les équations ainsi obtenues, il résulte la formule
(I) p"+^-p = (n + i)S,Ap-'i)
due à Euler (' ).
Soit ensuite p un nombre premier plus grand que n -\- i , nous aurons la congruence
(9.) S„(/) — i) = o (modp).
On voit, en effet, que cette congruence est satisfaite pour /j = i , car nous aurons
et la conclusion ôe /i à n -{- 1 est évidente.
Écrivons maintenant la formule (i) comme suit
(') Institutiones calcule (li[ferentialis, j). '(Sg, Peirograd, 1755.
CHAH, XIII. - UE L\ NATURE DKS KOMBUES DE BERNOULLI. 2 j I
puis désignons par p un nombre premier quelconque, tous les termes qui figurent au second membre de la formule susdite sont divisibles par/>, ce qui donnera la congruence
a(rt/'-i — i) = «/' — a Hs o (inod/)),
de sorte que nous venons de démontrer le célèbre théorème de Fermât :
I. Supposons que le nombre premier pnù divise pas le nombre entier a, nous aurons la congruence
Il aP-^ — i^o (mod/>).
Soit maintenant
<4i iii^ni (mod/> — i),
ni = (p — i)q -^ n,,
nous aurons, en vertu de (3),
a"i = («/'-' l'/a'^sEE a"t (niod p),
ce qui donnera immédiatement
(5) S„,(/>-.)^S„,(/>-i) (modp), d'où particulièrement
(6) S/,i(/) — 0— /* — I — — I ('"od/)); c'est-à-dire que nous aurons toujours
7' ^n(p — 0 — 1 (modp),
selon que/> — i est diviseur de n ou non.
Cela posé, désignons par p un positif entier quelconque, puis posons dans l'identité
(ap -4- s)" =2 (") («/'/'"^^•■^
successivement
MKI.S NIIU.SE.N i6
•.>4a DEUXIKME PARTIE. — LES NOMBRES DE RERNOULLl ET D EULER.
nous aurons, en ajoutant toutes les équations ainsi obtenues,
(8) '^{ap-hs)"=^(^''y(ap}"-^S,{p).
Posons ensuite, dans cette dernière formule, successivement
nous aurons, en additionnant toutes les équations ainsi obtenues,
^n(pq)-q^n(p)= 2 ( 'j/>«-vSv(/->)S„v(7 — I),
ce qui donnera immédiatement
Sn(pcj) S„(p) ^n(g) «^
pq p q q'
où a est un nombre entier. Or, nous aurons de même, eu permutant/» et </, ce qui est permis,
^n{pq) ^nip) S,,(ry) ^ b ^
pq p ■ q ft '
où b est un nouveau nombre entier, ce qui donnera ah
Soient maintenant p cl q sans diviseur commun, l'équation (()) n'est possible que dans le cas, où a est divisible par ^, b divisible par p ; c'est-à-dire que l'expression
^aipq) Snip) ?>n(q)
pq p q
est, dans ce cas, un nombre entier.
Cela posé, la conclusion de n à n -(- i donnera immédialenienl le théorème général :
Jt. Supposons que les v uombres positifs entiers pi^ />o, . . . , p^
soient sans dniseur commun, pris deux à deux, l'expression
est toujours un nombre entier.
Quant aux applications de ce théorème, nous aurons tout d'abord à définir le rang d'un nombre premier.
A cet eft'et, supposons que p soit un nombre premier impair, tel que p — I divise le positif entier pair 2 n, nous disons pour abréger que/> soit du rang n.
Désignons ensuite par m un positif entier quelconque, il es^ évident (jue le nombre premier/? du rang n est du rang wn aussi; ^
c'esl-à-dire que le nombre premier 3 est d'un rang quelconque. / ^ f/^ *^*^ *
Supposons, au contraire, donné le positif entier n, l'ensemble ^v»*^-^, ^ des n<nnl)res premiers du rang n, ^ '^^
,11^ À,, X2, X3, ..., Xv„,
est parfaitement déterminé.
Celte définition ado[)tée, il est facile de démontrer cet autre théoréiric :
Jll. Soi/ (0 ie produit de tous les /to/nùres premiers, égaux à an 4- I au plus, et soient À,, A2, . . . ,Xy^ l'ensemble des nombres premiers du rang n, nous aurons toujours
ty
oit 'J-n est un nombre entier.
En eflfet, soient
■i, Pu p.,, ..., /?v
les nombres premiers, égaux à 2/< -(- 1 au plus, l'expression
2i4 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE.BKRNOLU.I ET D EULER.
est un nombre entier. De plus, nous aurons, en vertu de (7),
S2„(/?u.)^- ^^ (mo(\ p^),
selon que le nombre premier yOj;. est du rang 7i ou non.
Cela posé, il est très facile de démontrer le théorème suivant, essentiel dans la théorie des nombres de Bernoulli :
jY, ^F. Soit B„ le /t"^""^ nombre de /iernoulli, et soient Ai, X^^ ..., A,^ r ensemble des nombres premiers du rang n, nous aurons toujours
oii A,t est un nombre entier.
En effet, on aura, pour /i := i,
ce qui s'accorde bien avec la formule générale (ly). Quant à la
conclusion de /* à « + 1, nous prenons pour point de départ la
jfi ( *l^] formule de Jacques Bernoulli, indiquée dans le paragraphe XXX\ 1,
2/ •> fi —1— T \ r.i-'' "25 — 1
riS)
où (0 est le nombre défini dans le théorème 10/
Supposons ensuite que l'expression (12) soit vraie pour les nombres
il est évident que les produits
M B^., i^sfn — 1
sont des nombres entiers, parce que rensemble des nombres premiers du rang s se trouve parmi les facteurs premiers de to. C'est-
CHAP. XIII. — IH-: LA NATL'RK DES NOMBRES DE BERNOLI.LI. 1 \ i
à-dire qu'il faut, en vertu de (i3), démontrer les congruences (i4) w^'/-' o (mod -A*/ -f- 1 ), 3i<7^« — I.
A cet ellet, soit p un nombre premier qui divise 2*7 -|-i, savoir 2*7 -|- I =/>*;', le produit (.) contient certainement le facteur yo; de plus, nous aurons
/)5'/-i . S*-/-' = (1 -i- i)-'/-"^ i -^ -^i -iq — 1) = 4 5' — • = 2^ -H I , iq — 1 = 2.
ce (jui donnera immédiatement la congruence (i4)-
Le théorème fondamental IV est du à von Staudt ('), et notre démonstration est une légère modification de celle de l'illustre géomètre allemand. Presque en même temps, Th. Glausen ('-) a énoncé le même théorème, mais sans démonstration, et le Mémoire (pi'il a promis sur celte matière n'est pas publié, que je sache.
Parmi les nombreuses démonstrations connues du célèbre théorème ^ de von Staudt et de Glausen nous citons celles de S/chlafli (•'), v^ Lucas ('), Saals(;liiil/ ( '), Schwering (") et M. Klujver (').
LX. — Applications du théorèma fondamental. Revenons maintenant à la formule (12) du paragraphe précédent,
nous aurons une expression de la forme
•2 on où h,i désigne le produit des noml)res premiers du rang /?, savoir
(') Journal de Crelle, l. ît, 1840, p. 372-371.
(') Aalronoinische Nacliricliten, t. 17, i84<>, col. 35i-3.j3.
(^) Quaiterly Journal of Matliematics, t. 6, i8(J4. P-T^TT-
(^) Vorlesungen iiher die Bernoullischen Zahlen, p. i38-i4o. Berlin, i8c)3.
(A) Théorie des Nombres, t. 1, p. 433-434- Paris, 1891.
(«) Mathematische Annalen. t. 57, 1899, p. 171-173.
(') Ihid., t. 53, 1900, p. r)9i-59J.
246 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eULER.
Dans ce qui suit, nous désignons poui- abréger a« et b„ comme le numérateur, respectivement le dénominateur bernoullien du rang//.
Quant à bn-, il est évident que le théorème de Fermât, savoir le théorème I du paragraphe précédent, se présente sous cette forme générale :
1. Soient a et n des positifs entiers quelconques^ nous aurons toujours la cojigruence
{■\) a(a^"—i)~o (mod bn).
Quant à la formule (i), Ilermite (Ma donné le tableau
B3 =i(i + Jh-
„ / I I I I I \ 6qi
tableau qui nous indique quelques propriétés des A,, et des B^,, propriétés qui sont des conséquences de l'inégalité
(') Journal de Crelle, t. 81, 1876, p. 95.
CHAP. XIII. — DE LA NATURE DES NOMBRES DE BERNOUIXI. i47
lirée dircclement de la formule (i3) du paragraphe XII, due à Euler.
Ecrivons la relation susdite sous la forme
nO^n-O
il est facile de démontrer Tiné^alité
(6) li„>B,,-, (n^4), de sorte que l'égalité
n'est vraie que pour m =: 4, n = 2.
En eflfet, remarquons que l'équation quadratique
a les racines
on voit que l'inégalité
n(2rt — i)>6/i-i-3
est remplie pour /i^4i ce qui donnera iuimédiatement (')).
Remarquons ensuite que l'inégalité B» > ^ donnera, en vertu de (5) et (6), cette autre
inégalité qui est du reste vraie aussi pour /? =8.
QuantàVrt, savoir le nombre des nombres premiers du rang /i, on aura évidemment v,^^ « — i . ce qui donnera
■A Al A *
()i-, nous aurons, en vertu de (^8), (10)
^48 DEUXIÈME PARTIK. — LES NOMBRES DE BEUNOLI.I.I ET DKULEll.
car l'inégalité
nn( n — i) 9.n -h^ ^ ,
-j ^— > 5 ' o/i-— lin — i>o
esl remplie pour /i ^ 2.
Cela posé, il résulte, en vertu de (9) et (10),
c'est-à-dire que le nombre entier ( - 1 )"A,; est toujours positif, les trois valeurs /^ = 2, 4, 6, seulement exclues.
Les résultats précédents sont trouvés par Stern (') et Lipschitz (-) à l'aide de réflexions entièrement dilTérentes de la nôtre.
