LXI. — Théorèmes de von Staudt et de Sylvester

Soit/) un positif entier, la fonction B,i(px) nous fournit un simple moyen pour déduire un autre tliéorème essentiel dans la théorie des nombres de Bernoulli.

A cet effet, prenons pour point de départ la formtde

B,.{pa^)-B,,(pa:-p)= '^ ~i^~P' ce qui donnera

n„^p.)-BJp.-p)= f-—^ +2.^^ -,—1 -(n-v-i)!>

de sorte que nous aui'ons

(,) B,.(p.) = rn,,l.r)^'v''-)-^--'-;S»(/'-)B,..,(,,

caries deux membres de cette formule forment, divisés parjo", des suites harmoniques. —

(') Journal de Crelle, l. 'J', 18S7, p. 3 jg Sôo; i?<<//efm de Darboux, 1" série. t. 10, 1886, p. 280-283.

(^) Bulletin de Darboux, 2' sciic, t. 10, 1886, p. \\Z.

CHAI». XIII. — DE I.A NATL'HE DES NOMBIIES DK lUillNOri.M. A^Q

Supposons ni'aintenant /)^2, puis posons pour al)r(''<;er

lous aurons

tp„(x)-ç„(:r-i)=-îl— T >^ -.^—

m, ce qui est la même chose,

ce qi

donnera

Cela posé, multiplions pur p les deux membres de (i), puis introduisons, dans (3), n — i au lieu de /i, nous aurons immédia- Icnient

ji /j«+«B„(r) — />B„(/7:r )

■m" Remplaçons ensuite, dans (4). n par 2//, puis ])osons a? = o, il i-i'suhe, après une légère ^nodilicalion,

.'./i .^ \ 'iv / i.n — 'i^t ^' '

^ ( ,)"-!(•.// - r):=p,„,(o) -f- ^ — L Li 1 s,„,(/> - 1).

Mulliplions ensuite |)ar/>" les deux membres de (5), puis posons

»5o DEUXIÈME PARTIE. — MÎS NOMBRES UK BERNOULLI ET d'eULER.

nous aurons la formule récursive

OÙ ,3«(/o) est un nombre entier.

Remarquons maintenant que l'expression

(8) a,ip)==P"(P'-''>''^ = P'^P^'2^^'-''^

est toujours un nombre entier, pourvu que p le soit, nous aurons immédiatement, en vertu de (7), le théorème suivant :