III. Soit l'indice n de la forme

nous aurons toujours

Remarquons, en passant, que la formule (28) du paragraphe XVIU Jo - C 0 donnera une expression directe du nombre t^ savoir

pu) ,,= .,.-'|"(-),..,,B„

Quant à la nature des coefficients des tangentes, les formules récursives (i3) et (17) du paragraphe XXXVIIl, savoir PL' lét^f 6j

donnent des éclaircissements intéressants.

En efiel, on aura immédiatement les deux congruences

i T„=(-i)«2 (modg) (n^a),

I T„ = — I — (— i)«2 (mod 5) («^i),

tandis que nous aurons particulièrement, pour /i^ i,

8) T, = -2 (mod 3),

ce qui donnera le théorème :

(') Journal de Crell'e, t. 9'», i883, p. aoS-aSa.

aCo DEUXIÈME PAUTIE. — LES NOMIîRES DE UEHNOL'I.I.I ET d'eULKR.

IV'. Les coefficients des langenles se présentent sous la forme

(10) T2„= çp/f-f- 2,

et pourvu que w ^ i ,

où h, /.-, /, désignent des entiers non négatifs.

En effet, les congruences (7) montrent clairement que Ta,/ est un nombre de la forme 45^ + 2, ce qui donnera (10), parce que Taw est un nombre pair. Soit ensuite « > i , Ta,/ est divisible par 4 ; c'est-à-dire que le nombre k doit être impair, et nous trouvons l'expression (11).

Quant à Tsrt+i, on aura immédiatement, en vertu de (-),

Or Ton+i étant un nombre de la forme ?,''"(2a + i), on aura, en vertu de (12), pourvu que « = i,

i5p. H- I =zz t) (mod 16), ce qui donnera

[i. = 161JI1 + I, i5[jt -+- r = iG(i5 [i-i-!- 1),

et ainsi de suite.

Etudions maintenant les nombres d'Euler; les formules récuisives (i i), (i5) et (3o) du paragraphe XXXIX, savoir :

,ç = rt — 1

donnent les congruences

(i3) E«Es(— i)"'2 = (— i)«+i (modSj,

(i4) j,:„^[i(,y.]3 (n.oil 5),

(i5) (2« + i)E„^(-i)« (mod 4).

ClIAP. Xni. — DE LA NATURE DES NOilBRES DK BERNOILLI. a6i

On voit du reste que (i5) se présente sous cette autre forme plus élégante

(lO) E„=i (mod4);

celte congruence est due à Sjlvester (' ).

Cela posé, nous aurons immédiatement ce théorème, analogue au précédent :

\ , Les nombres (VEuler se présentent sous la forme

II;,» Ejn+i = 6o/i -i- I,

(iS) Iî:2„=6o/. + 5,

où 11 et k désignent des entiers non négatifs.

Ce théorème est généralement attribué à Stern (^). Or, il faut remarquer que Scherk (=') a déjà indiqué des expressions de la forme

(20) ^in= 3o/c'-H •;>,

et il est évident qu'une combinaison de ces résultats et de la congruence de Sylvester donnera immédiatement les expressions (17)

(') Comptes rendus, t. 5'2, 1861, p. aia-ai'i- (-) Journal de Crelle, t. 79, 1875, p. 67, 73. (') Matheniatische Affhandliinffen, p. ai-a». Berlin, 1825.

CHAPITIIE XIV.