LXIV. — Applications du théorème de Fermât
Dans le Chapitre présent nous avons à étudier des expressions de la forme
où m est un positif entier fixe, quel que soit /i, tandis que ni les kg ni les K^ ne dépendent de n.
Soient ensuite v et [j. des positifs entiers quelconques, il résulte immédiatement, en vertu de (i),
ce qui donnera, en vertu du théorème généralisé de Fermât, savoir ,l4i(?' ^^ théorème I du paragraphe LX, cet autre théorème, essentiel dans les recherches suivantes :
I. Soient, dans (i), tous les ks et les Kç des nombres entiers qui ne dépendent pas de n, et soit \ le positif entier le plus grand qui satisfasse aux deux conditions
(3) Xin, Xiv, les nombres Q„ satisfont aux congruences
(4) 2(-0^(^)û«+2m=o ^ (modbl),
CIUP. XIV. — I.KS CONGRUKNCES DE KIMMER. l63
Cela posé, il est évident que les trois nombres
qui jouent un rôle fondamental dans les développements du Chapitre XII satisfont, quel que soit le nombre ç, aux congruences
(5) -^r.., = 2(-0-'(^)^^-'"^ ^o (mod6(,.),-
(6) Ay,., =2(-^>'(l)^r''^ ^« {modbl),
Dans ce qui suit, nous avons à appliquer d'autres résultats tirés directement de l'identité (2). A cet eifet, soient a et b des positifs entiers sans diviseur commun, et soit/? un nombre premier dû rang n, qui ne divise pas b, nous aurons
mr-']"—
{a^'<— i) — fl(62«— i).
et le second membre est évidemment divisible par p. Dans ce qui suit, nous écrirons par conséquent simplement
îiiîï-']^'' (""^^^^
(]ette définition adoptée, nous aurons, en vertu de (4), cet autre théorème :
II. Soient, dans la formule (i), tous les As et les K, des fractions irréductibles, dont les dénominateurs sont premiers a^ec le
26/, DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULU ET d'eULER.
nombre premier p du rang «, nous aurons, avec la définition (3) du nombre À,
(9) 2(— ^>'(iv)"''+2.sjL=o (mofl;oM.
Dans nos recherches suivantes, nous avons aussi à appliquer d'autres formes des congruences (2) et (9). A cet effet, posons pour abréger
(10) IVI„,,=2(-i)-^-(^jî2„^2.i..,
où oj désigne un nombre complexe quelconque, différent de zéro, nous avons tout d'abord à démontrer les deux identités, inverses l'une de l'autre.
Quant à la formule (12), introduisons, dans le terme sommatoire, qui figure au second membre de (11),
= [(„îi.,)+,].=2(')(^'-f'— «r,
ordonnons ensuite, d'après les puissances {^^i-^ — i)'', puis appliquons l'identité évidente
nous aurons la foi^mule (12).
Pour démontrer la formule inverse (i3), nous multiplions par
CHAP. XIV. — LES rONGULEXCES DE KLMMER. •>Cy'>
le terme sonimatoire qui figure au second membre de (lo), et !<• même procédé que dans le cas précédent nous conduira à la formule (i3).
Cela posé, nous aurons immédiatement les deux théorèmes :
III. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théorème /, puis supposons que o) soit un nombre premier a^ec le dénominateur bernoullien du rang jj., les deux congruences
(li) M„,r=o {moA b\),
d")) N„,;.--o (mod //^)
sont équi^'alentes.
IV. Supposons remplies les conditions énumérées dans le théorème 11^ puis désignons par w une fraction irréductible dont ni le numérateur, ni le dénominateur ne soient divisibles par le nombre premier p du rang |jl, les deux congruences
(ifi) M„,,.^o (mod /?>•),
(17) N„,r^o (mody?>')
sont équivalentes.
Dans ce qui suit, nous avons encore besoin de quelques autres résultats tirés des congruences (2) et (9). A cet effet, posons pour abréger
ho{x) = I,
nous aurons à étudier l'expression
Les identités évidentes
(n-h -irix — q) ( j hrf(n -^ 2sii) — -ir ^il' "~ ' j /(,/(«-+- 2* [Ji)
'^jh,j+i{n
■isn),
.>.66 DEUXIÈMK l'AnXIE. — LES NOMBRES DE BKRNOULLl ET d'eL'LER.
OÙ il faut supposer o^sl/' — i, et
(rt -4- ■i.rix — q)hr,(n 4- 2;-|j.) = hg+i{n -^ir\i) donnent, quel que soit q^ la formule récursive
(20) (« -f- ar — <7) Ay,,.— 2/mji A^,,., = S^q+\,r-
Cela posé, la conclusion ordinaire de 7 à ^ + 1 donnera immédiatement, en vertu de (2) et (9), la congruence plus générale
2(-')'-(:)(''V>— ^-« (mod;.X-,),
où p désigne un nombre premier du rang tj., et où il faut supposai la fois q <^?' et g <^ X.
