LXV. — Applications sur les fonctions de BernouUi

Pour donner une application intéressante des théorèmes généraux que nous venons de démontrer, nous prenons pour point de départ il. t ' ou la formule (4) du paragraphe LVf, savoir

L^ t'^G , ou la formule (3) du paragraphe LVllI, savoir

n\ [B„+,(^) - B,,+,(o)] = (~ i)'«-«2 (,tt"X'i ) "^"'" ^'" - "^• Posons ensuite, dans ces formules, (i) a:=— -,

OÙ a et y désignent des positifs entiers sans diviseur commun, nous avons tout d'abord à étudier le coefficient binomial

CIIAP. XIV. — I.KS CONGRtEXCES DU KUMMKII. •>.67

OÙ /• désigne un positif entier quelconque, tandis que la fraction qui figure au second membre est irréductible. Ces définitions adoptées, je dis que le dénominateur ne peut contenir d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent y.

En effet, il résulte, en vertu de (2),

(3; . ,h-^- ±a(±a-ï)(±a-'n)---l±«"(^--OT]. "H 1 .2.0. . . /-.Y'" '

soit ensuite p un nombre premier égal à /■ au plus, qui ne divise pas y, et soit pi une puissance de p égale à r au plus, nous aurons

Cela posé, il est évident que les a multiples de p'^ p'/, "i-p'i, 3/)7, ..., ap'i

se trouvent parmi les positifs entiers de i à /■. Etudions maintenant l'équation indéterminée du premier degré

— Y^ — * =^p''yi

cette équation admet des solutions entières de x et j', parce que y el pi sont sans diviseur commun; soit ensuite Xi la valeur de x qui satisfait à la condition

0 = x\'^pt — I,

une valeur quelconque de x se présente sous la forme

X = Xx-^ sp'i,

où s désigne un entier quelconque; c'est-à-dire que le numérateur de la fraction qui figuie au second membre de (3) contient précisément comme facteurs les a multiples àe pi

±a — yixi-i- spv) (ois-;^a — i).

Ces résultats obtenus, il est évident que la puissance /?v disparaîtra dans la fraction irréductible qui figure au second membre de (2), de sorte que B ne peut contenir d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent y.

Gela posé, il est facile de démontrer le théorème suivant, essentiel dans nos recherches sur les nombres B,,, T„, E,j :

268 DKUXIKMK PAHTIE. — LES NOMBRES DE BEUNOULKI ET d'eULER.

I. Désignons par a et v des positifs entiers sans diviseur commun, par p un nombre premier du rang u qui ne divise pas y, et par n et v des positif s entiers quelconques, les nombres rationnels

satisfont à la congruence

OÙ \ est le positif entier le plus grand qui satisfasse aux conditions

En effet, prenons par exemple pour point de départ la première des deux formules générales que nous venons d'indiquer, il résulte une expression de la forme

(7) 9.„ = ^ks{c>.,^()X", (ni>n),

où les /o(a, y) désignent des fractions irréductibles qui sont indépendantes du nombre /?, et dont les dénominateurs ne contiennent d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent y. n fT^ Appliquons ensuite la formule (5) du paragraphe LXIV, nous

aurons

.> — V s -r in

ce qui est précisément la congruence (5); et l'on voit du reste que le nombre arbitraire 7n est à choisir tel que m ^ /i -)- 2 ra.

Posons maintenant, dans (4), -» puis — ; — *• à la place de a, et

soustrayons ensuite les deux équations ainsi obtenues, il résulte une expression de la forme

(9.) n\E„(-^^=^l,ioirn^^4 (niln),

CIIAP. XIV. — I.KS CONOIILKNT.KS DE Kt.M.Miîll. f.Gt)

OÙ les /^(a, r) sont des fractions irrédiiclibles, (jtii ne dépendent pas du nombre //, et dont les dénominateurs ne contiennent d'autres facteurs premiers que ceux qui divisent y.

Gela posé, nous aurons cet autre théorème, analogue à i :

H. Supposons renij)lies les condilions indiquées dans le lliéorènie /, les nombres rationnels

su lis/ont à la coni;rue/ice

(11) V(— iy(Mii;,+..,!i=o (inod/7>).

Il est digne de remar([ue ([ue les nombres rationnels ii„, définis par la formule (\), jouent un rôle fondamental dans nos reclierelies suivantes sur les résidus quadratiques.

LXVI. — Des coefficients des tangentes et des nombres d'Euler.

Il est évident (jue les deux théorèmes généraux, que nous venons de démontrer dans le paragraphe précédent, conduiront à plusieurs applications très intéressantes.

En premier lieu, posons, dans la formule ( 4 ) du paragraphe LXV, /» 7 o d .

puis introduisons 2/1 — i au lieu de n, il résulte

^^ (-.>"T„ "in-l- :^, >

ce qui donnera, en vertu des théorèmes I du paragraphe LX et I du p' f^Cf paragraphe T. XIV, **^. t^Z.

où b^ désigne, comme ordinairement, le dénominateur bernoullien du rang u, tandis que A est à déterminer comme le positif entier le