DKUXIKME PARTIE. — LES NOMBRES DE BEUNOULLI ET D ËULER

plus grand qui satisfasse aux deux conditions

(2) XI2/1 — I, l^r.

Remplaçons, dans (i), le module b^ par p = 2^-\-i, supposé

premier, la congruence ainsi obtenue est due à Stern ( ' ).

En second lieu, posons, dans la formule générale (4) du para-

t,,îCÎ • graphe LXV,

puis posons 2/1 au lieu de n, nous aurons ce qui donnera

(3) ^{-ly^-^V-l^'^^y.n+sv.^o {moàbl),

OÙ il faut supposer à la fois

(4) X^2rt, l^r.

Remplaçons, dans (3), le module b^ par /)=2u,4-i, supposé premier, la congruence ainsi obtenue est due à Kummer (-). I 2C(t Appliquons maintenant la congruence (ai) du paragraphe LXIV,

r nous aurons, en vertu de (i) et (3),

où p désigne un nombre premier du rang [jl, et où il faut supposer q <lelq<Cp.

Soit encore, dans (i) et (3), /■=i, il résulte les congruences spéciales

(7) E„+[jiHs(— i)lJ-E„ (mod ôjj.),

(8) Tn+^^i—iy-Tn (mod 6^),

(«) Journal de C relie, t. 88, 1880, p. 91. C) Journal de Crelle, t. 41, i85i, p. 373.

CHAI'. XIV. — LES CONGRUENCES DE KUilMKR. 27 1

d'où, en supposant « = i ,

(9) Tp,+,= li:^^.,HP(-i)!J- (modbij.);

celle dernière congruence qui correspond à T(jl^, a clé observée par Saalschiilz ( ' ).

Remarquons, en [)assanl. cpic les deux formules numériques

2-"+' îo„ ( m ) = ( 2 'n -\- I j2'' -t- V (— I y ( ^' " ) ( ?. m -+- 1 )i«-2« K,., •.iî«+^cr,„+,(m) = (-2 m -+- i)2«+i

lirées dii-eclement des formules (2) du paragraphe XVII el (21) du /* J

paragraphe XXXVI, et où m et n désignent des positifs entiers in > IU%

quelconques, conduiront sans peine aux congruences (i) el (3). ' En elFet, nous aurons

(10) 22«+ia.,„(m) ïs (— i)«E„ (mod am -+- i),

(n) 9.2«+2(j2^^^j(„i)=:(,)m+«-iT„4,i {moA im-\-i),

ce qui conduira immédiatement au but, si nous posons

Nous avons encore à appliquer la congruence (10) pour déduire une propriété intéressante des nombres d'Euler. A cet effet, posons, conformément à la formule ( ^) du paragraphe XXXVI, , /'

I — (— i)'« = -^.cToCm) = '>.^{— i)"'--%

il résulte, en vertu de (10),

.» = «I ^vi) i-(,)'«(— i)«E„Es22(— O'''-^! — (2*)-"] (mod 2/«-4-l).

Gela posé, divisons en deux parties l'ensemble des nombres premiers du rang n

h, >.2, K ..., Xv,.,

(') Vorlesungeii iiber die Bernoullischen Zahlen-^ p. i65. Berlin, i8q3.

■>.->. DEUXIliME PARTIE. — LES NOMBRES DE HEUNOULLI ET D EULER.

savoir

X', , Xo, X3, ...,X'çf, X!; =4a + i, 1 = 5 ^3",

de sorte que nous aurons (t-|-t^ v,,.

Posons ensuite pour abréger

de sorte que nous aurons, pour le dénominateur bernoullien du rang n,

(«4) b„=kj;,.

Introduisons ensuite, dans (12), (i5) im -^-\ = bn,

puis désignons par p un nombre premier du rang /?, do sorte que

(16) bn = pq,

nous aurons évidemment

c'esl-à-dire que l'ensemble des m positifs entiers

I, 2, 3, . . . , »i conrient précisément les multiples suivants àe. p p,'?.p, 3/), ...^J—— p.

Cela posé, nous aurons, en vertu de (12),

(17) ,(i).»(i)«E„E=-.. 2 (-0"'-^- hnoàp)

ou, ce qui est la même chose,