CHAP. XIV. — LES CONGRUENCES DE KUMMER
Soit malnlcnant, en premier lieu,
6„ = 4 rt -+- I , m = ia,
les deux nombres/) et q sont, en vertu de (i6), en même temps de la forme 4'^ + i on de la forme 4^+ 3; c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de (i8),
I E„=o (inocl/î), p = f^r+\,
1 E,j =- ( — I )" 1 ( inocl /; ), p = f^r ■+■ 3.
En second lieu, soil
6 = 4 a -(- 3, m = aa -+- 1 ,
les deux nombres p -\- i ei q sont en même temps de la forme /\r-\- i ou de la forme 4/' + 3, ce qui donnera, en vertu de (i8),
2 — (— I )" E„ -^ •>. rto (^ "^ ' j ( motl p ) ;
c'est-à-dire que les congruences (19) sont valables dans ce cas aussi, de sorte que nous aurons le théorème, nouveau, je le pense :
I. Soient k,i et la les tleux facteurs complémentaires du dénominateur bernoullien du rang n, définis par les expressions (i3), les nombres d'Euler satisfont aux deux congruences
\ \in o (iiiod /k„),
/ E„s(— i)''2 (inod /„).
Soit particulièi-ement y> = 2/i-Hi «n nombre premier, nous aurons par conséquent pour n pair, savoir n^^im,,
(->-0 Ea/n^HO (mod/>), /) = 4w-i-i,
tandis que Tliypothèse n = 2/?i + i donnera
( Il ) E2,„4.i = — 2 ( mod p), /) = 4 m -h 3.
Ces deux congruences spéciales sont indiquées par M. Elj ( ' ) ; chose curieuse, cet auteur semble croire que la congruence (3) de Kuuimer est due à Lucas.
(') American Journal of Matheniatics, l. 5, 1880, p. 341.
NIELS NIBLSEN 18
274 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET d'eULER.
11 saute aux jeux que notre méthode générale est en défaut quand il s'agit de déterminer les exposants k et l qui figurent dans les eongruences
(23) 2(i>+.^!^(^[JT„+,j,Eso (nioda/^,
(24) ^{-^y+•^V■{''\¥.,^,^^o (rnod 2/).
Stern ( ' ) a essayé, le premier, de déterminer ces deux exposants k et l qui correspondent à |jl=2; cependant, il applique des séries divergentes, et il est très curievix, ce me semble, que cette ancienne méthode classique ait conduit, dans ce cas, à des résultats parfaitement faux. La méthode donnera, en effet, le résultat surprenant que les nombres d'Euler sont des nombres pairs!
Saalschûtz (-) a observé que le résultat susdit de Stern relatif aux coefficients des tangentes est inexact. Néanmoins, feu M. Bachmann (3), dans son beau Livre sur la Théorie des Nombres, donne le développement de Stern, sans réservations, et il ne me semble pas sûr que Bachmann (*) ait détourné les difficultés en question, dans •sa Note récente.
De plus, c'est une conséquence immédiate des recherches (/,/ récentes de feu M. Frobenijiis (s) et de M. Haussner (") que les / résultats de Stern relatifs aux nombres d'Euler sont faux aussi.
Or, les eongruences susdites ne jouent aucun rôle dans nos recherches suivantes; de plus, on n'a pas réussi à déterminer exactement les exposants k et /, mais à donner certaines limites inférieures. C'est pourquoi nous nous bornons à renvoyer le lecteur aux deux Mémoires susdits et à une petite Note plus récente de M. Liichte Jensen (^).
(') Journal de d'elle, t. 79, 1875, p. 67-98.
(^) Y orlesungen Lïber die Bernoullischen Zahlen, p. i64. Berlin, 1893.
(^) Niedere Zahlentheorie, t. II, p. 4o. Leipzig, 1910.
{'') Archiv de Gruiiert, 'à° série, t. 16, 1910, p. 363-365.
(•'') Berliner Sitzungsberichte, 1910, p. 809-847.
(") Leipziger Sitzungsberichte, t. 62, 1910, p. 356-4i8.
( ') Bulletin de l'Académie Royale des Sciences de Danemark, i9i5,p. 32i-33i
