IV. — La fonction v(n) d'Euler
Soit » un positif entier, décomposé en facteurs premiers comme
suit :
— a s pit dy (x) N = PHPSPS Pi
(*) Arithmetica Universalis (De transmutatione æquationum ).
nous avons à déterminer le nombre ©(n) des positifs entiers plus petits que x et premiers à 7.
A cet effet, remarquons que les deux positifs entiers g et np + g, où p désigne un positif entier quelconque, sont en même temps premiers à » ou non, il est évident que le nombre des positifs entiers, premiers à n et situés entre les deux multiples pr et(p+1)n, est précisément égal à o(n). De plus, le nombre des positifs entiers, premiers à » et plus petits que pn, est égal à pœ(n).
Cela posé, regardons tout d’abord la puissance d’un nombre
premier n—= pT,
l’ensemble des multiples de p, égaux à 7 au plus, est
DU AD IPN Tes DDC DER,
dont le nombre est précisément p*", tandis que tous les autres posi-
üfs entiers plus petits que » sont premiers à n; c'est-à-dire que nous aurons dans ce cas
(2) g(n) = p4— pt =pep==n(i—i).
\ D | Considérons ensuite le positif entier (3) Rien Pose RE DCE contenant r — 1 facteurs premiers, puis supposons
(4) PR) = pr (ps —1) pE (ps —1)... ptr(pr—1),
il est évident, en vertu de (3), que la formule (4) est applicable Pour r 0.
Remarquons maintenant que les nombres
P:; 2 Pi; 3 pi. CE — Di
représentent l’ensemble des multiples du nombre premier p,, égaux à À au plus, remarquons ensuite que le nombre de ces muluples qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers
Pas PE DE CET REP r
est précisément pie (»,), il est évident que le nombre total des
CHAP. I. — THÉORÈMES ET FORMULES AUXILIAIRES. Il
positifs entiers, premiers à » et égaux à z au plus, deviendra POR= php) — ph tem )= pal p, — 1) pCru),
d’où, en vertu de (4),
(5) EOA)= PAT (pr 1) pa (pa — 1)... ptr(p,—1)
ou, ce qui est la même chose,
(6) gom=a(i+) (et) (2),
expression qui est de la même forme que (4); c’est-à-dire que notre
formule est valable pour un nombre quelconque de facteurs premiers.
Ce résultat général relatif au nombre des positifs entiers, premiers à À et égaux à À» au plus, est dû à Euler (!).
Cela posé, nous avons à étudier d’un autre point de vue la formule (6).-A cet effet, désignons par |
72) 72) (4) LR ES ENORREE le
les positifs entiers, obtenus en divisant n par q de ces facteurs premiers, ce qui donnera évidemment
désignons ensuile par
Fit [C EN Ls m0;
Cp lq
les produits correspondants des q facteurs premiers de », nous
aurons toujours
= < < () RONDE n (TÉS SU METÉES
re Ces définitions adoptées, il est évident que la formule (6) se présente sous cette autre forme aussi q=" fé ir à\ A N/A!
(8) w(n) =n+Ÿ (y DE }:
q=1 VA A)
(1) Voir Commentarii Petropolitanæ, t. VIIL, 1760-1761 (1963), p. 74-104; Acta Academiæ Petropolitanæ, 1780, I (1584), p. 18-30; Commentationes arithmeticeæ, t. I, p. 274-286. Petrograd, 1849.
formule qui indique une regle très simple pour déduire de la suite L'OD REO RE UL l’ensemble des nombres
(9) PT TT TE [m=+(n)],
plus petits que n et premiers à n.
Comme autre application de la règle susdite, posons
(10) Sy 2} +aÿ+at+...+ a,
(1) Ste) = tea ERREUR
où a désigne un positif entier, nous aurons, en vertu de (5) et (8),
q=?r ST )
q \ (12) Sn — Sm(n) +Ÿ SE 2 dx)" Sn [ny? ] ‘
q=1 MY
Dans nos recherches suivantes nous avons à donner d’autres applications intéressantes de la règle susdite.
