XLIX. — Théorèmes sur les racines de l’unité

Dans les développements précédents, les £ — 1 quantités 4, sont des nombres complexes quelconques, différents de zéro. IL est très intéressant, ce me semble, que les formules générales que nous venons de développer se présentent sous une forme élégante dans le cas où les &, sont des racines de l'unité.

Quant à l'étude de ces formules simples, nous prenons pour point

de départ les deux polynomes entiers

(x) Pa(t)= n'[F,(x)+(—ir F,(— x), (2) rm) = (n +43)! Gn(x) —(— 1 G(— æ)],

savoir, ordonnés d’après les puissances descendantes de æ,

<n—1 F3 NET VE or (3 HER N tiens 2e À NPA 22 Fe DAT.

=" < n—1 Tan. VRP I) 68,14 2701 (4) Vrntr)— Ÿ è HAE eeru re ; dd k+or 2k+ar— 1 r=0 Soit ensuite, avec une légère modification de la définition (2) du

paragraphe précédent,

CT dt OS med UE fs

on aura en outre

: &œ \ 7 # Oo) (5) - On (æ) — S (e+ où MS) ) 5 ARS NN, ; m\72HA 1 : © \ 2+4—1 (6) dx) = Ÿ ir(e+2) + (— 1) > (= 1 (x — =) ;

où qg est le nombre caractéristique de w, savoir le nombre des signes négatifs dans l'expression susdite.

Cela posé, nous avons tout d’abord à démontrer le théorème :