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de sorte que p+1 des puissances de 4 qui figurent dans w’ ont le signe — 1, q —1 le signe +; c'est-à-dire que le nombre caractéristique de w’ est égal à p +1.
Cela posé, il est évident que les termes qui figurent aux seconds membres de (10) et (11) sont, abstraction faite du signe, les mêmes que dans les formules (5) et (6); de plus, nous venons de démontrer que les signes seront les mêmes, ce qui donnera les deux formules (9).
Appliquons maintenant les deux expressions (3) et (4), nous aurons, en vertu de (9),
RS er Sr A Sor, Sorti = A7 Cortis
ce qui donnera le théorème suivant :
Il. Supposons choisis, comme indiqué dans le théorème I, les
nombres 4,, puis supposons que 2r ne soit pas divisible par k, nous aurons
(12) S2r = 0, Sar+1 = O0.
Comme analogie du théorème I, nous avons cet autre : IE. Soit à une racine primitive de l'équation binome (13) TEA — 0,
el sotent les nombres 4, les puissances
(14) TRS IE ahi=1,
le: polynomes 7 (æ) et d,(x) satisfont aux équations fonc-
T | EAP sn(&) —= On(æ),
F4 4 | a?n—2 Vi (2) — Un (æ).
Conformément à l'égalité 4?*= 1, nous avons à modifier les for-
tionnelles
mules (10) et (11) en y remplaçant & par #?. Soit ensuite w de la forme
D —IHoEah, HE mé-s = qi 2 EE Qi),
on aura, en vertu de (13), a — a? Easmtt al Er vw:
c'est-à-dire que w! a le nombre caractéristique 4 ou g — 2, selon
que la puissance 2—", dans w, aura le signe + ou —. Soit, au contraire, w de la forme
water. Eagles oh? gh-1
on aura ; 220 — a ua, .Eol1 1e ——,0),
de sorte que p 1 des puissances de « qui bgurent dans w' ont le signe —,g +1 le signe +, selon que Le a le signe + ou —; c’est-à-dire que w' a le nombre caractéristique p F1. Cela posé, il est évident que les fonctions pa(z) et ns (æ) satisfont aux équations fonctionnelles (15). Appliquons maintenant les
deux expressions (3) et (4), nous aurons, en vertu de (15),
Sin — Say, Sorti = 4" Gants ce qui donnera cet autre théorème :
IV. Supposons choisis, comme indiqué dans le théorème IIT, les nombres as, puis supposons que 2r ne soit pas divisible par k, nous aurons
(16) SD =—" 07 Sa 0e
Soit maintenant + une racine quelconque de l'équation binome a2k+1 —1—=0,
l'équation æ2h+1 LI1=0
aura évidemment la racine — 2; c'est-à-dire que les deux ensembles de nombres 4, (8) et (14) conduiront aux mêmes fonctions F,(x) etG,(x), de sorte que nous n'avons qu'à étudier l’ensemble (8) pour une valeur paire de #, l’ensemble (14) pour une valeur quelconque de X.
