L. — Formules de première classe

Soit, conformément à la remarque finale du paragraphe précédent, & une racine primitive de l’équation binome

(1) | TE y 0 Ts)

nous choisissons l’ensemble des nombres 4, comme les puissances

(2) PRÉ ENTTe PE ns D

ce qui donnera, en vertu des formules (12) du paragraphe précé-

dent,

C EN Soph+t = So) Fes) dd (2k +0 rk)! 22642 1 Ba-2re(æ), Een) SE / EN Sark à > ( 1) Fax) CA ( o fe )! ETTEN Rec Er)

tandis que les deux autres développements de ce genre ne sont pas susceptibles d’une telle simplification.

Soit maintenant, dans ces deux formules, n 2k, les sommes qui figurent aux seconds membres se réduisent à leurs premiers termes ; appliquons ensuite les deux valeurs

(5) So = 2241, s=—(2#)! 22% 1,

dont la première est évidente, tandis que la seconde est une conséquence immédiate de la formule (1 1) du paragraphe XLVIIL, il résulte les deux expressions explicites

- B,(x) =— Ga(x},

nr. ; \ |

(6) ; L Er) — L R7(2)

L'hypothèse n — 24 donnera, en vertu de (3) et (4), ces deux expressions explicites, plus compliquées que les précédentes,

; Tor+1 Br Gr»

24 2% (CAPAMENLEN Cr) D» ; E ee FSE Cr) Sox tax(T) — 52% 7 (2Æ)la

Nous ne nous arrêtons pas aux formules récursives incomplètes qui proviennent des développements (3) et (4) et qui sont du reste évidentes. Quant aux expressions explicites (6), introduisons, dans

A . - À I = la première, 2n au lieu de 7, puis posons æ —0, x =— -; nous

aurons respectivement

(—1}2(on)! 0

COTE) ont 2h (8 s (222— 2)B, (—i-l(on)l sn 22 Mon 2%) avril

Posons ensuite, dans la dernière des formules (6), 2n +1 respectivement 2x au lieu de x, les hypothèses 3 —0, respectivement

x —— -, donnent les deux autres expressions explicites (— 1) Son] Tr+i— Apt > (9) (— 1)4 ie Haute FN er y

Additionnons, puis soustrayons les deux formules (8), nous au-

rons respectivement

T (—1)2(2n —1)! (cer — Ton) = > : , $ (an+2k—1)lto#-2n

/ B (—i}t(2n)! (on + Ton) FT (an+24k—4x)l2%#

Dans les six dernières formules il faut supposer 7» £k —1; en appliquant les formules (5), on pourra obtenir des expressions explicites pour les nombres B;, Tx, Ex, expressions qui deviennent plus compliquées que les précédentes, de sorte que nous ne nous arrêtons pas à leur déduction.

Étudions maintenant le cas le plus simple des développements précédents, savoir Æ = 2, nous aurons

n'F,(x)=2(x+i)+oan+(x +ri+i)t

+(r—i)+ (x +<i—i) + (x +i)z, (n + Aer) — 2DNHB— 9(r + i)E+3 + (æ +i1ti)r+s

4 (æ — t)r+3 + (& ER L)r+3 — (Cr ae t)r+3,

Appliquons ensuite l'égalité évidente

2 ET Race 9 ps MST e s il résulte So — 8, [2] mr . mr Sm—=2|1+Ccos— + 2? cos — ; 2 + ./ mn +3 MmT SLMIT m 3)x Ch 0li 1Cos "Sin "+0 cos Cr Aie :

de sorte que nous aurons

x NES S—+—(—i)22+2 - RANCE TN La(T) + Ÿ Go) Es Cu) en ; Fe

Gr (@) EX

= (4Ss A4)!

Éi2r).

Cela posé, nous aurons les formules récursives incomplètes

S=nr . : S An +I : nl 4 (2 ya oôn—1 — TT, à 4 Ks—1 S65—2 11 | ( ) Ps ? Sen [21s + (— 1) 268 2e (12) Es S= Ar —A1 - : À = 4 —1\ 2h53 (—1)2962-4— TT, FL N Ù +s-1 F D OEM À PT EE | Jr — 1e} É 2*S- LR (— y) 2S-21 To os, 2 {5 [ | 2n—2$ S=n—1 à 3 Le n +5 :

ar) (4 nr Er) 227— ù ; -)[1+(—i)2s2]B;h os, 15+5 APCE (13) | s —0 S—=n--1 fn -+ 3" / 2 : È f (an +i)[r—(—i)t 2%] — ( [1 +(—i) 22] Bon os ] D te [ ) ]Bon-os 1,

tandis que les expressions {» et zm, et par conséquent les formules incomplètes pour les E,, deviennent plus compliquées.

Les quatre formules spéciales (12) et (13) sont déduites par M. Haussner (1), à l’aide d'une méthode transcendante.