LI. — Formules de seconde classe

Soit ensuite, conformément à la remarque finale du paragraphe XLIX, z une racine primitive de l'équation binome

nous avons à choisir l’ensemble des nombres #, comme les puis-

sances

/ Q S2pk ?

AE) 22 Torh)lotrkt En-erx(r), (2) { c

N°} S2rk+1 0 TO) EE

Bh op (T).

Ga(æ) =

(:) Güttinger Nachrichten, 1893, p. 809.

NIELS NIELSEN

tandis que les autres développements de ce genre ne sont pas susceptbles d’une telle simplification.

La définition des nombres #, donnera

KA — 1 A1X2... ki = 4e NEA de sorte que nous aurons 1C1 Sy — 224, ON 20)

Soit ensuite » < 24, nous aurons, en vertu de (2), les expressions

explicites

? Gr) 6) : RAA Er(æ) = De

tandis que l'hypothèse n — 24 donnera ces deux autres expressions explicites, plus compliquées que les précédentes,

Be G2x(x) a+ r à LENS (H c)é1 (34)! DA I(E j 1?

: ARTE PELLE) Éne a

PE TÉRRE (24)! 23%

Les formules récursives incomplètes et les expressions explicites, urées des formules générales (2), (3), (4), pour les B,, T,-etE,, forment les parties principales du beau Mémoire de M. Haussner (!). Or, van den Berg (?) a trouvé, douze ans auparavant, les formules susdites qui contiennent les nombres de Bernoulli, tandis qu'il a indiqué quelques cas spéciaux des autres formules pour les T, et les E,.

Quant aux expressions explicites que nous venons de développer, M. Haussner (*) dit à juste titre qu'elles sont plus simples que celles de Kronecker (1). Nous pouvons ajouter que les formules

(') Gôttinger Nachrichten, 1893, p. 777-S09.

(?) Verslagen en mededeelingen der Koninlijke Akademie Amsterdam, 2° sé rie, &. 16, 1881, p. 89. Il est très regrettable, ce me semble, que le collaborateur du Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t. 13, p. 193, ne dit rien sur Ja nature de ce Mémoire très remarquable.

(CHELoC Cite p 700: re

(*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2 série, t. 1, 1856, p. 385-391.

ae Snditiratitie ile dd de dnéiditt Ént p à té

incomplètes de ce genre sont beaucoup plus simples que celles in-

diquées dans le paragraphe précédent, ce que montrent clairement les exemples suivants.

Soit # — 2, nous trouvons

Le ÉTAT : [— 0 nt Fate) = (2 + È ) LE, }

- Nr Ne El 77) eL (+! Guns (a+ ] (+ ) )

’ nt ce

ce qui donnera

J mT Sm — mm — 2 TER ARE A mm + I Oh ET n 3 (m+a)!2 ?

de sorte que nous aurons = eu = % ns Fr to)=— > Us)Tos=t En-xs(2 ), Le , s—=0 L 6 (5) 2

Gn (æ ) 2 AGE ATS B-4s(x ).

Cela posé, nous trouvons les formules incomplètes

S=n En +1 < (6) (— 5 )t 227 = > ET) (ET ; 45 ) 228 Ton-2s+1, $ =0 S=n—1 An —"T :

(7) (Es 1 22n—1 — > (— 1}° ( 4 ) Tone d 1 s—0 sS=n IL EEE 1 (8) = nait D (= 1} fe 7 Ja Eh-95+1; ST s=n—1 an + (9) D — (—4ÿ* on = En + D: (— 1} ( DE Es ns, S—'1 s=n—1 ) 4 s (TNT pl — 1) T2 (10) on DR == pà Een ] Ban 227—1 22$ 4 s + 9