PA LE: 4 J

les deux formules (4) et (5) sont observées par Lipschitz ("). Appliquons ensuite la formule

<n => : (æ Hi) + mi— 7 » :

(6) EE — ù Go lPn-es(e)— Ba-2e(0)d; . 2 14 .

plus générale que (3), nous aurons de même REA = 2

se DÉÉODNEEN TI TANT

(5 = = Rs) Sri Le 1=0

Quant à la formule (2), on aura, en vertu de la formule (21) du

paragraphe XXX VE,

<z 8 pP'+H(p—i)+(—i)r \/on (9) > we ar) TPE J:—=0 te : Sd? FETES (9) (2p—1)22(— 1) => (,) Sn-2r (D —1).

L > à = f. . 7 2° Posons, dans (1) et (2), x —0, puis remplaçons, dans (1), n par » —1, il résulte, après une légère modification,

n : Ge n (10) ee A RO Be nt à af) ua ans,

S=1 M De:

STE 1 x" ps (11) ——— = N ( : 7 (i— a )?2S(1 + qn—2s—1 TT Re? dd 2?°+1 DST ï Lu re mnt Ss=0

PR VO RTS

(!) Comptes rendus, t. 86, 1878, p. 119-121.

tandis que l'hypothèse © — — = donnera

À 3 \ (12) 2(1+ a) o0(1 + an) = ÿ' nt :

: ) - LE ( 1) (QE SANTE ee n—2$\) »2n—2$H 1 25 jé ee 9

S—=1 0 1 + @ \—1 (13) na) ( ) > 1 —1 nn 2 F < TR Er SN ie Dr 1» ( Meme esr) FE:

st L2$ 22 Se S—=1 ea I quil (14) ax) [( ) pis | CL D en ETS = Ÿ OT al (I æ)?s (1 112$) T< oh ON AN ESS ) CN rs

Les trois premières de ces cinq formules sont indiquées par Hermite (!) el démontrées, à l'aide des formules sommatoires, par

Süeltjes (?).

3° Posons, dans (10) et (13), 4—1, nous retrouvons les deux formules de Knar que nous venons de développer dans le para-

graphe LE.

4° Supposons, dans (1),

et dans (2) al —

rat À

où Æ désigne un positif entier quelconque, il est évident que les fonctions B,44,, (x), respectivement E,;,(x), disparaîtrontdes formules ainsi obtenues, ce qui nous conduira à des formules récursives pour les B,, T,, E,, dans lesquelles manquent les nombres dont les indices forment une suite arithmétique.

On voit que les formules de Knar sont à regarder comme les

représentants les plus simples des formules de ce genre.

(!) Correspondance d'Hermite et de Stielijes, L ?, p. 136, 442. (2) Loc. cit., p. 437-438.

NILES NIELSEN