S—=1IL

T 7 (1) œ+an= D (7) sp ; $= rt pue P (2) œ—ane Yu ( ; "Jeu (e

où il faut supposer mZA, nous aurons ces deux développements

des fonctions de Bernoulli

: D /t +1) (3): n![Ban(r + a)— Brn(x —1)] = ( }#ve œ), Gi

S I S=0 T+S\, Chr (ra Bt 21= Co (T TT) ae) S$S—=0

En effet, l'opération À conduira de (3) et (4) à (1) et (2) respectivement; soit ensuite, dans (4), æ — 0, la formule donnera une identité évidente. Quant à (3), l'hypothèse x — 0 donnera cette autre identité :

n\[Brr1(e) — Brri(a—2a)]| = ar AE (x).

Posons tout d’abord, dans (3) et (4), x + p au lieu de x, où p

désigne un positif entier, puis soustrayons les formules ainsi obtenues, il résulte respectivement

S=ImMm

e T+pP+I) TEEN:

{5 Sn(T' ÆaEIr, p)— — (x), ) <h P/ DS ie S+I ) mat bs (a) S = nt ù à KT THEpES TH S 6 Sn(T—A4+I = ES %. et eb/2 (6) se pe Yep (rer) s—0 ee qui donnera pour 4—0, m—n, S=1n Qi /r+p+i) fx +1 (7) Sn(T +1, EN = LL!

BA pie? s +1 SAIS de S—n (8) SEA +1, p)= (rs ro SEE An S+I | S +1 à

d’où, en posant x — 0,

(9) Satp)=Y (ET, )eue,

msn Sert) ras

€ nn 0 LE Q car «L, (4) s'évanouira avec &.

CHAP,. XI — EXPRESSIONS EXPLICITES. 231 La formule (9) est démontrée dans toute sa généralité par Kramp (1), tandis que Fermat à appliqué des cas spéciaux de cette formule pour déterminer les p'emières des sommes S,(p): Puiseux (?) à développé la formule générale (5) sans connaître évidemment ni la formule de Kramp, ni la formule beaucoüp plus ancienne obtenue de ) en y posant à —:0.

Posons encore, dans (9), æ=— 32, puis introduisons x au lieu de 4, il résulte la formule curieuse

À get à = DHLI—x\ 1l— (11 S ) = 1 —( 4} Ne ) DOME SN ER ENIO) S =0 tandis que la formule (6) donnera, pour æ — 4, le développement analogue Sr ; 2 LE + D —S CT +S Gr Sa(p)=d (rs ( es | (x).

/ AN 21 ) NS Ed Se SD

Quant aux fonctions de Bernoulli, nous aurons, en posant,

dans (3) et (4), & —0, puis remplaçant mn par n,

; @ NE ES ER ( (Cr) R'[Br41(œ) — Brn(—1)] =Y Fe 4 )r as = SA

. N/D HS (14) n'[B;:41(%) — Br#1(0)] => — E }—S ( ve jar,

formules qui sont dues à Worpitzky (?).

Il est évident du reste que la formule (14) est une généralisation de la formule (9) de Kramp; néanmoins, la formule de Worpitzky est une conséquence immédiate de celle de Kramp, parce que cette dernière formule est valable pour une valeur quelconque du positif entier p.

Cherchons maintenant les dérivées des deux membres des for-

——————————————————————“ûr

(!) Aindenburg comb. analyt. Abhandlungen, t. ?, p. 365. Leipzig, 1800. (2) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1. 2, 1846, p. 97-488. (Ca)

3) Journal de Crelle, t. 94, 1883, p. 203-232,

mules (3) et (4), il résulte

s AT HI ; (15) n!Ba(r +2) = Y (em IE

D s=0 S—=7/t - LES ” (16) AP ACeCu) =Ù s)2=s D; [( ee )| M?(x), S—0.

d’où en posant x — 0, puis remplaçant + par #, S=7t fr) ! = (27 A, 2 (tr) BARS ET Lt), SA S=n (— its ; 8 2 B,(i— x DNA TT Es ist ALI | s—=0

Posons encore, dans (16), &æ = 1, il résulte SIT (19) B,(1— x) =Ÿ 1}2-s sr (Tr), s=0 où nous avons posé pour abréger

: Il (20) Âq = " |

CAES QS1 mi se |

Quant aux fonctions d'Euler, nous posons, dans (3) et (4), I : - | æ — - au lieu de +, ce qui donnera, en vertu de la formule (3) du

paragraphe XVI,

SA $ FA | = RER DER Vr = 7 * . pe D AN ee \ = 2 SMIC (21) ACTE ETS (or ( | LbE(z), SE NEIE EN REY U TN l n ] \ F L = FL ER NU s DES T+S— (22) —En(2æm—02)= D (—is ( Lu )-{ 2 | À (2); 2 nl ] S I ; S=0 S'Étent

posons ensuite 3 — 6 et — au lieu de x. il résulte des développements =) de He ( æ), w On peut déduire d’autres expressions de ce genre en prenant pour point de départ la formule (21). En effet, posons, dans cette formule,