EL

puis remarquons que la formule (5) du paragraphe VII donnera

/ … THa+N—I TON ca 2 | Sons & n nie, o— 0 nous aurons immédiatement Sn (3) nlE(x —«)— > (—i)rs g,(r)A}(a), S—=0 NY ç (n— 5) (4°) Ln(r Ha) > CS) Er (n), s=0

où g,(æ) est la fonction que nous avons introduite et étudiée dans le paragraphe VIT.

En effet, l'opération à nous conduira de (3) et (4).à (1): respectivement, et l'opération inverse de à détermine parfaitement les polynomes en question.

Ilest évident que les deux formules (3 )et(4) nous donnent plu-

sieurs relations curieuses. En premier lieu, posons, dans (4),2— 0,

(1) Philosophical Transactions 1814, 1, p. 440-468: 18716, Ikp. 25-45.

(°) Mathematische Abhandlungen, p. 18-30 (Berlin, 1825); Journal de Crelle, t. 4, 1829, p. 299-304.

*) Journal de Crelle, t. 84, 1883, p. 203-930.

( (*) Verslagen en mededeelingen der koninlifke Akademie Amsterdam, 3° série, L. 5, 1889, p. 358-897.

sGléntant 52

il résulte

S—Tt— | (C5) RAC Ÿ Cu S)ICUE;=(),

tandis que nous aurons, en posant æ — 0, puis remplaçant & par +,

. IA s Wn(æx) (—1}YT ! NN cr SE An (6) n' Sn(r) = HER NT CHR Cr), $S=0

d'où particulièrement pour &—0

(7) DE Et jrs ETÉ ROSES

En second lieu, posons, dans (3), « = 0, il résulte

S—=n (8) n! E(r)= dire Leg (æ), tandis que l’hypothèse æ—-—1 donnera, en vertu de la for-

mule (24) du paragraphe VI,

(9) lE,(x) = - = AL (x) ss ie LE (æ).

SA

Posons encore, dans (4), æ——3—1, puis introduisons æ au

lieu de +, 1l te de même

rit?

(10) = =d (—1 s(n—s)l GE) Er (x ), en

formule qui est une généralisation très étendue de (7). En dernier lieu, posons, dans (3), 4 — x, nous aurons ces deux

formules curieuses

@) DICO LOT y —2n+1 , À (—1}" Th (12) a (—1Y gs (M) RS (x) = ,

Re Er 236 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. dont la dernière donnera pour + = 0 s=2n+1

€ — 2h — LAN À Ve cs (13) Tri Ÿ (prior SAT EE