LVIII. — Développements de quatrième espèce

Il nous reste encore à étudier la formule (10) du paragraphe IX.

savoir s=m+i1 DES IE jee ) (= ren (rm ar — LU RLELCS 677 (m=n), 1) ) æ ) 2 s ) = s=0 ù

formule qui nous conduira immédiatement à cette autre

(2) (—i)nn [Bruit —a)—Brs—a)] +(—i)ar S—=m+1 — \' LES A Aie (072) le DES 'ERS F s=0

car l'opération A donnera la formule (1), et nous aurons de plus, en posant, dans (2), æ —0

(na Vo | œ),

ce qui est une conséquence immédiate de la formule (15) du paragraphe IX, si nous y posons p — 0.

Soit particulièrement, dans (2), 4 — 6, il résulte

VE P à TRS

3 nn BR = \ Û LA.

46) (— 1) n'[Brh(r) — Bari(o)] = is | tjs 2:

le cas particulier m—n de cette formule apparuent à Worpitzky (1).

Posons maintenant. dans la formule fondamentale (2), æ+a+p, puis æ + o à la place de x, où Pp désigne un positif entier, nous

(1) Journal de Crelle, t. 94, 1883, p. 203.

4 LE

CHAP,. XII. — EXPRESSIONS EXPLICITES. oi

[eE)

aurons, en Soustrayant les deux formules ainsi obtenues,

(4) (—i)nrsh(x +1, p) sS=m+i Ex T+a+p+s T+a+s\ == » — al, 4) __ mi +1 m+i Fr APE S— 0 154 + ; d'où, en posant + — 0, puis introduisant x au lieu de z, la formule curieuse : sS=m+i (5) (—rn18,(p) = Xe ÉOU fie es pan (x) ei || m+r m +1 Nan S—0

ce qui donnera DOME RO, MVL

sS=n<+i

: + Ss\

(6) SES (Pur:

formule qui est analogue à celle de Kramp. savoir la formnle (9) du paragraphe LV.

Cherchons ensuite les dérivées des deux membres de la formule

fondamentale (2), nous aurons

sS=m+i A TS (—i)-in!B,(x — 2) — Y De ( vb? (x

A] (et) n( ) AC Û ), SL

d’où, en posañt æ = — 1, puis introduisant æ au lieu de 4, ve UZz

, ; à : , NT (— 1) 5: (772 —s): 4

(8) nlBatr) = mo bgt(e) + TS mr ti (x),

où Amy est la somme définie par la formule (20) du paragraphe LVL

Posons encore, dans (5), æ=—0, puis remplaçons & par æ +1,

nous aurons celte autre formule, analogue à la précédente,

« s—m - (—1}ss!(m — 5)!

: 5 TEA : nn (a) ñ! B, (a ) AE EI LE 14 (be 1) AT PS DE IN Un DR (x —- 1 ). rh ! /

Quant aux fonctions d'Euler, posons, dans la formule fonda-

Il . ° 3 x :

mentale (2), x — -au lieu de +, puis soustrayons les deux formules : à

ainsi obtenues. nous aurons, en vertu de la formule (5) du para-

238 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER: craphe XVI,

(10) E,(2z —24) DL SIT EN ' 1 A Eu ER (2) M +I s=0 ONE LES Posons maintenant, dans (10), æ = — 5» puis introduisons æ à la

place de 24, nous aurons

TN + ( 1)#n! : S — — er Lun, {x ER je. CN LL ( = à FR ( }»

(11) 5n n ) ; $ En, À ) 0 ;