LIX. — Théorème de von Staudt et de Clausen

Posons, dans l'identité

nm HI FILE EX CRE EE Je"+..+ | }e +1

successivement

puis ajoutons toutes les équations ainsi obtenues, il résulte la formule

(1) = pi—p=(n+i)Sh(p —1) n+Ii\s - In +1) = à CPE hr Si(p —1), 2 CRE:

due à Euler (!).

Soit ensuite p un nombre premier plus grand que 7 +1, nous aurons la congruence

(2) Sn(p —1)=0 (mod p).

On voit, en ellet, que cette congruence est satisfaite pour n —1, car nous aurons

p(p—1) SN

et la conclusion de x à 7 +1 est évidente.

Ecrivons maintenant la formule (1) comme suit

aa =pSp(a—r)+(h)Syata—1)+..+( P }SiCa 1), 2 DE ; RS

(‘) Jnstitutiones calculi differentialis, p. 439, Petrograd, 1555.

puis désignons par p un nombre premier quelconque, tous les termes qui figurent au second membre de la formule susdite sont divisibles par p, ce qui donnera la congruence

A(aPA1—= 1) — "ab" a—= 0 (mod p},

de sorte que nous venons de démontrer le célèbre théorème de Fermat :

L Supposons que le nombre premier p ne divise pas le nombre entier a, nous aurons la congruence

14659) al—l—j;=0 (mod p).

Soit maintenant

(4) R1= (mod p — 1),

savoir TD) JEU,

nous aurons, en vertu de (3),

CAR D UC CIE (mod p), ce qui donnera immédiatement (5) SC i)=S7,(P — 1) (mod p), d’où particulièrement (6) Spi(p—1)=p—i=—1 (modp);

c'est-à-dire que nous aurons toujours

E er Ft (mod p), ( ) Dn(P l o

selon que p — 1 est diviseur de 7 ou non.

Cela posé, désignons par p un positif entier quelconque, puis

posons dans l'identité

n ss (ap + per WII

successivement

NIELS NIELSEN

nous aurons, en ajoutant toutes les équations ainsi obtenues,

D /n) (8) S'(ap+sm=Y (% ) Car nv, (p).