ES

sotent sans diviseur commun, pris deux à deux, l'expression

Eh")

Sn(pP1P2 «+. Py) » Sn(Py) PiP2-.+ Py Py.

est toujours un nombre enter.

Quant aux applications de ce théorème, nous aurons tout d’abord à définir le rang d’un nombre premier.

À cet effet, supposons que p soit un nombre premier impair, tel que p — 1 divise le positif entier pair 2 7, nons disons pour abréger que p soit du rang n.

Désignons ensuite par »2 un positif entier quelconque, il est évident que le nombre premier p du rang n est du rang mn aussi; c'est-à-dire que le nombre premier 3 est d’un rang quelconque.

Supposons, au contraire, donné le positif entier », Pensemble

des nombres premiers du rang », (1 1) A1; À, A3) SO TLA À,

est parfaitement déterminé.

Cette définition adoptée, il est facile de démontrer cet autre

théorème :

I. Sort w le produit de tous les nombres premiers, égaux à on+1 au plus, et soient À1, ke, ...,À,, l’ensemble des nombres

premiers du rang R, NOUS AUTONS toujours

Sole I I I I PAIE ae Se Don 00 NO Das À

(11) où 2, est un nombre entier.

En effet, soient 2, Pi; P>2; . Py

les nombres premiers, égaux à 27 +71 au plus, l’expression

b ; Son (®) 2m(1) EN San (Py)

o 2 ni Py

est un nombre entier. De plus, nous aurons, en vertu GENS

Son(Pu) = 4 (mod py),

selon que le nombre premier Py est du rang 7 ou non. Cela posé, il est très facile de démontrer le théorème suivant,

essentiel dans la théorie des nombres de Bernoulli :

II. Soct B, Le ni°"e nombre de Bernoulli, et soient 14, À2, -……, À, l'ensemble des nombres premiers du rang n, nous aurons

Loujours

(12) CiPBa= Ant ere x où A, est un nombre entier.

En effet, on aura, pour nr —1, — B, = re I se ï 52 : 6 » :)

ce qui s'accorde bien avec la formule générale (12). Quant à la conclusion de n à n +1, nous prenons pour point de départ la formule de Jacques Bernoulli, indiquée dans le paragraphe XXX VI, savoir

de Son(®) 2? w22—1 (19) — = ——— — «) 21 + 2 S—=n—î1 à OR w?n—2s —1 so > nn dr ——— [B,;(o)—(—1)2B ( 28 re qe s( Cl

où &w est le nombre défini dans lé théorème II.

Supposons ensuite que l'expression (12) soit vraie pour les nombres

il est évident que les produits DIE 0

sont des nombres entiers, parce que l’ensemble des nombres premiers du rang $ se trouve parnu les facteurs premiers de w. C’est-

rt

: 5 >: : ; à-dire qu’il faut, en vertu de (13), démontrer les congruences (14) ®2-1=0 (mod 29 +1), Dent.

A cet effet, soit p un nombre premier qui divise 2q +1, savoir 24 +1= pr, le produit & contient certainement le facteur pb; de plus, nous aurons

DT 2) T2 Mo (9 g —1)= 4g —122g +1, 29 —124,

ce qui donnera immédiatement la congruence (14).

Le théorème fondamental IV est dû à von Staudt Wet notre démonstration est une légère modification de celle de l’illustre géomètre allemand. Presque en même temps, Th. Clausen (?) a énoncé le même théorème, mais sans démonstration, et le Mémoire qu'il a promis sur cette matière n’est pas publié, que je sache.

Parmi les nombreuses démonstrations connues du célèbre théorème de ‘von Staudt et de Clausen nous citons celles de Sechläfli (*), Lucas (‘), Saalschütz (5), Schwering () et M. Kluyver (°).