Æ I I I B: TO ES

I I I I B; = nn = 52 2 3 5 30 I I I I B; = — + — HE 2 3 gi 42 1 I B, =—1+ (+5) ) e) 20

I I I I I 691 B; ST Re Re —= : , \ 2 5 5 7 13 2730 1 1\ = B; = 2 — ni —< 2 ) 6 I I 1 I 3617 B,=6+(l+i+ze D = ———) à ) 17 210 Û I I l I 13 865 B, = 56—(L +++ rs 2 à 7 19 798

& I I I 15) 746 Bo= 84 (++ ze) Do, 2 3 5 Le 330

tableau qui nous indique quelques propriétés des A, et des B,. propriétés qui sont des conséquences de l'inégalité

Gn+1Bu2(

JBB, à (n29 )s

a (") Journal de Crelle, t. S1, 1876, p. 95.

urée directement de la formule (13) du paragraphe XI, due à

Euler.

A ; 1 + Ecrivons la relation susdite sous la forme

(5) > ET Br, il est facile de démontrer l'inégalité

(6) Be hs (n24), de sorte que l'égalité

(7) ; Br—B, (mn)

n'est vraie que pour m — 4, ñn — 2.

En effet, remarquons que l'équation quadratique

a les racines

on voit que l'inégalité n(an—1) >6n+3

est remplie pour #24, ce qui donnera immédiatement (6). Remarquons ensuite que l'inégalité B; > 7 donnera, en vertu de (het (6), cette autre

ATOUT) Gr +3

(8) B, > (72181); inégalité qui est du reste vraie aussi pour 7 —8. Quant à y,, savoir le nombre des nombres premiers du rang »,

on aura évidemment y,< 7 — 1, ce qui donnera

Or, nous aurons, en vertu de (8),

D En md à , (10) De (n28);

248 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER. car l'inégalité

Tn(n—1) 2n +1

as < = > ; Sn?2—11n2—1>0 6n +5 3

est remplie pour 727 2.

Cela posé, il résulte, en vertu de (9) et (10),

RG Ne RE ri es EE 6 6 à

I I I 1 \ on+I 2n+Ii 2R+I1 B?

c'est-à-dire que le nombre entier (—1)"A, est toujours positif, les trois valeurs » — 2, 4, 6, seulement exclues. L. Les résultats précédents sont trouvés par Stern (!) et

Lipschitz (?) à l’aide de réflexions entièrement différentes de la nôtre.