I. Désignons par p un nombre entier quelconque, l'expression

pra (p??— 1) PB}

(9) An(P) = est toujours un nombre entier.

On voit que ce théorème est une généralisation intéressante d’un autre, dû à Sylvester (1).

En effet, Sylvester à démontré que l'expression

pepe 1)B,

(10) Yr(P) = ESS

est un nombre entier, pourvu que p le soit; c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de I,

(11) Yn(p)=0 (mod p-1) (n 2°).

Lipschitz (?} a retrouvé le théorème susdit de Sylvester concernant le nombre y,(p); mais quoique l’éminent géomètre allemand (?) ait indiqué, plus tard, la priorité de Sylvester, on désigne néanmoins généralement le théorème en question comme appartenant à Lipschitz.

Le théorème susdit de Sylvester apparuent du reste à ceux sur

!) Philosophical Magazine, février 1867.

(Qu) (?) Journal de Crelle, t. 96, 1884, p. 2.

(*) Bulletin de Darbouæx, 2° série, t. 10, 1886, p. 14r.

CHAP. XIII. — DE LA NATURE DES NOMBRES DE BERNOULLI. Do

lesquels feu M. Bachmann (') remarque qu'ils € bisher auf rein arithmetische Weise nicht gewonnen werden konnten ».

Quant à notre théorème L, il est possible d’abaisser, dans beaucoup de cas, l'exposant # +1 de p. Soit par exemple p de la forme 6m +1, on démontrera par le même procédé, en vertu de (5), que l'expression 2 pri p2r—1)B,

est un nombre entier, mais la seule règle générale, applicable dans tous les cas, est celle indiquée dans le théorème I.

Revenons maintenant au nombre 4, (p) que nous écrivons sous la forme PÉROIDA=EN