LXIV. — Applications du théorème de Fermat

Dans le Chapitre présent nous avons à étudier des expressions de la forme

sS=Im

SRE (1) Q Die x = 0 où m est un positif entier fixe, quel que soit », tandis que niles #, ni les K, ne dépendent de n.

Soient ensuite y et x des posiufs entiers quelconques. il résulte immédiatement, en vertu de (1),

S—=YV S—=In X s=—=0 ex

ce qui donnera, en vertu du théorème généralisé de Fermat, savoir le théorème I du paragraphe LX, cet autre théorème, essentiel dans les recherches suivantes :

I. Soient, dans (1), tous les k, et les K, des nombres entiers qui ne dépendent pas de n, et soit À le positif entier le plus grand qui satisfasse aux deux conditions

les nombres Q, satisfont aux congruences

(4) DEN Fe loue (mod b});

où b, désigne le dénominateur bernoullien du rans Le.

Cela posé, il est évident que les trois nombres

MEDo:()a-s» 22) S—=0 SE, ! q > S—=q—1 mn me. Re te m ee PE | Éa n S of") S— 0

qui jouent un rôle fondamental dans les développements du Chapitre XI satisfont, quel que soit le nombre g, aux congruences

; CLS A 5:

(5) as: () Lyt#t =o (mod b} U.)»

(6) Ve =Y 1x (0 )are —o (mod 6), S—=Y

(73 un => (C0 % je PTE G (mod bi).

Dans ce qui suit, nous avons à appliquer d’autres résultats tirés directement de l'identité (2). À cet effet, soient & et b des positifs entiers sans diviseur commun, et soit p un nombre premier du rang n», qui ne divise pas D, nous aurons

à 27 5 |(&) a ]évs = a(añr 1) — a(om—), )

et le second membre est évidemment divisible par p. Dans ce qui

suit, nous écrirons par conséquent simplement

(8) 21 (5) 1] (mod p).

/ Cette définition adoptée, nous aurons, en vertu de (4), cet autre

théorème :

Il. Soient, dans la formule (1), tous les k, et les K, des fractions irréductibles, dont les dénominateurs sont premters avec le

nombre premier p du rang n, nous aurons, avec la définition (3) du nombre },

S= YV

à V è œ à (9) > A (?) Qp+2su = 0 (mod p}).

Ss=0

Dans nos recherches suivantes, nous avons aussi à appliquer d’autres formes des congruences (2) et (9). A cet effet, posons pour

abréger e r (10) Mar— > (— 1} : Qn+osu, s—=0 S =?

TE 2 (11) Nair = > (EF : OPEN sS=0

où w désigne un nombre complexe quelconque, différent de zéro, nous avons tout d’abord à démontrer les deux identités, inverses l’une de l’autre,

> e ; À > : L (12) Nr=d — 1) É ) (2 1} Mh2su,r—s s—=0

(13) My,r > () Cote 1) Ness res

Quant à la formule (12), introduisons, dans le terme sommatoire, qui figure au second membre de (11),

be [Cort r) += YŸ (;) (o8— 1},

vV=t

ordonnons ensuite, d’après les puissances (624 — 1)”, puis appliquons

l'identité évidente TE SNS Fe T — y SA NU EN ENS VIE

nous aurons la formule (12).

Pour démontrer la formule inverse (13), nous multiplions par

V=Ss

1=[o?t— (@2B— 1)]S = — 1)Y (:) DV) (DU — 1)"

métis

le terme sommatoire qui figure au second membre de (o);vettle même procédé que dans le cas précédent nous conduira à la for-

mule (13).

Cela posé, nous aurons immédiatement les deux théorèmes :

IL. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théorème 1, puis supposons que w soit un nombre premier avec le dénominateur bernoullien du rang x, les deux congruences

(14) Myr=0 (mod bi), (15) Nu,r=0 (mod bi)

sont équivalentes.

IV. Supposons remplies les conditions énumérées dans le théorème 11, puis désignons par w une fraction 1rréductible dont ni le numérateur, nt le dénominateur ne soient divisibles par le nombre premier p du rang p, les deux congruences

(16) M},:= 0 (mod P?}), (17) Nn,r= 0 (mod pÀ)

sont équivalentes.

Dans ce qui suit, nous avons encore besoin de quelques autres résultats tirés des congruences (2) et (9). À cet effet, posons pour abréger { ho(x) =1,

(8) l'hy(æ)=æ(æ—1)...(æ—q +n),

nous aurons à étudier l’expression

(19) Ar Dix (7) tn + asu) On

Les identités évidentes DA Th (n+asu)—2rm M) (nee asu) (n+2rp—g) s (4 Û Î s qg\ Î

— () ic + 25h),

266 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. où 1l faut supposer o£s£r—1;,et

(n+oru—ghq(n+orp)= hq;n(nr+2ru)

donnent, quel que soit g, la formule récursive

(20) (n+2r—q)Agr—2rpAgr = Ag+,r.

Cela posé, la conclusion ordinaire de q à q +1 donnera immédiatement, en vertu de (2) et (9), la congruence plus générale

SET (21) Ÿ-- nr(?) (" ne eh) Qhrosu—=0 (mod pra), ë es q ÿ s—10

où p désigne un nombre premier du rang , et où il faut supposer à

la foisig eur et. g 0h