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Supposons ensuite que le nombre premier du rang y ne soit pas aussi du rang #, puis désignons par une racine primitive modulo p, la différence ÿ?*— 1 qui figure au second membre de'(5), comme facteur de M,,,, ne peut jamais être divisible par p.
De plus, posons .
> (6) B, Hs An+st , DAC TRE
où la fraction qui figure au second membre est supposée irréducuble, nous savons, en vertu du théorème de von Staudt, savoir le théorème Il du paragraphe LXT, que le dénominateur duxsy ne peut jamais être divisible par p.
Cela posé, introduisons dans (5), successivement
la conclusion ordinaire de 7° à 7° 1 donnera immédiatement la
congruence SR 42 B +su ( ù prion ne ‘mod p} 7) ( ) SET ADS EE nu }; S—=0
où il faut supposer à la fois (8) X<on 1, NET
tandis que le nombre premier p du rang 4 ne doit pas être aussi du rang 1. Le cas particulier p = 2u. +1 de la congruence (7) appartient à Kummer (!).
Appliquons maintenant la formule (21) du paragraphe LXIV, nous aurons, en vertu de CT},
r (9) de LS È ) Br+su — 9 (mod pri ) sS=0
et plus généralement
(10) Don de de Fi) Le
(!) Journal de Crelle, t. A1, 1857, p. 368-3
CHAP. XIV. — LES CONGRUENCES DE KUMMER. 277 Où il faut supposer à la fois g À — 1 et 4 < p; ces deux dernières congruences semblent être nouvelles.
On voit que la formule (9) est analogue à celles démontrées, dans le paragraphe précédent, pour les T, et les FE.
Soil particulièrement, dans (ghp=au+1,r=t, il résulte
nBrru=(—1}(nr + u)B, (mod p) ou, ce qui est la même chose,
2nBrry=(—i)(2n —1)B, (mod p);
soit ensuite U—2m+I1, savoir p—=Am+3, nous aurons, en posant dans (11), a = m—+1, la congruence intéressante
(2°) : Bsmt2 = B»h+1 (mod p), p = 4m +3.
Revenons maintenant à la formule générale (3); nous avons supposé que le nombre premier p du rang 4 ne soit pas aussi du rang a. Or, cette condition suffisante n’est pas nécessaire pour l’existence d’une congruence de la forme (7).
En effet, prenons pour point de départ la somme de puissances
Dr(d) uen Por CSrr EE at,
nous aurons
V—7 en r
D — 1} ue ) San+ovu(@) DE — sb)";
soit ensuite p un nombre premier du rang f., el SOIt encore = p—1;, ‘nous aurons par conséquent, quel que soit le positif entier »,
ne | (13) De 1) É ) San+avy(&) = 0 (mod p”).
vi 10
Or, la formule de Jacques Bernoulli, savoir la formule (22) du paragraphe XXX VI,
SA 0P = 1) — pETE + BE LI cie = (2 a B;p?/" 2841,
9 NL SI 2 DNS EAN DS SA
278 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER-. donnera la congruence (14) Sam(p —1)=(—1)"1B»p (mod p?),
pourvu que pZ5, mzI.
En effet, soit p 25, g 23, nous aurons toujours
= 0 (mod p?);
on voit immédiatement que le cas le plus désavantageux est celui où p est du rang r, et où qg est en même temps divisible par p. . Or, soit p* la puissance la plus élevée de p qui divise q, le déno-
minateur de la fraction À * | q
supposée irréductible, est dans ce cas divisible précisément par p#*#, de sorte que nous avons à démontrer que qg — 3 Z 4. Or, nous aurons évidemment
g=p#={[1+(p—1)]*Z21+a(p — 1), ce qui donnera, pourvu que p25, 421, gq—3=fax—2 24 >.
Cela posé, nous aurons, en vertu de (13) et (14), pourvu que 2»,
& RP fi (109) DOTE (mod p).
ve Soit particulièrement, dans (13), » — o, l'égalité
So(p — 1) =p —1
donnera, en vertu de (14), " (16) D 7 =Ÿ L}S+sb É ) Bus (mod p).
Je n'ai pas réussi à démontrer que le premier membre de (15 )soit divisible par une puissance plus élevée du nombre premier p. On voit du reste, en vertu du théorème de von Staudt et de
Th. Clausen, que le terme
disparaîtra dans les formules (no FettrO)
