ITA
(15) Sat = 0 (mod p), o=7
En eflet, on voit, en vertu de (13), que les sommes de puissances s, sont aussi des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p.
Désignons plus généralement par (16) Déni. dn)
une fonction rationnelle et entière, homogène et symétrique des ñ nombres #; et d’un degré impair, savoir 2N +1, tandis que tous les coefficients numériques de ® sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p, nous aurons de même
ra) DÉS ER 2) — 0 (mod p).
En effet, la fonction en question se présente sous la forme
8 y AP eee, As
où les coefficients numériques À,,5,..,, sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p, et nous. aurons
de plus a+28+3y+.. .+nv=2N+i:;
c’est-à-dire que l’ensemble des exposants PRET si
contient toujours un nombre impair au MOINS.
Cela posé, il est très facile de démontrer cet autre théorème
général :
Il. Supposons remplres les conditions indiquées dans le théorème 1, puis supposons que les coefficients a, satisfassent aux conditions ultérieures
(18) &3r—=0 (modp), SRE Te
nous aurons les trois autres congruences
(19) Lori 0 (mod p 2); METRE (20) Sr —0 (mod p), SR te (21) S 1 0A(mMO0dpA); ST SUD
En effet, appliquons les formules (4), (15) et (9), il est évident
que les trois congruences en question sont des conséquences immédiates de (18).
Plus généralement, on aura de la même manière (2) D, à, :..) An) —=0. (MO p2), HEIN EEE
Appliquons de nouveau les formules (4), (9) et (13), il résulte le théorème suivant :
IL. Supposons remplies les conditions indiquées dans le théorème IT, nous aurons les trois congruences ultérieures
(23) Pr = (2 — r) . (mod p), ÉTAT S2» L S2r >
/ 2r+1 — pe °2r 1 < DEN ;
(24) FE ( :) : (mod p}), I<TSR
(25) real 2. (mod p) STE
Prenons maintenant pour point de départ la formule (13), nous aurons cet autre théorème :
IV. Ajoutons aux conditions précédentes que p soit premier avec u.!, les congruences
(26) S5=0 (modp}), ISSU
entratnent les autres congruences indiquées dans les deux théorèmes précédents.
D x pr à « a sc 1 5 1 Pour donner une autre application essentielle des polygones symé- : Ce ” tiques nous prenons pour point de départ le polynome entier (1) JT) = a+ aan, |, on -1 © + Aon du degré 27, dont les racines
(2) dis Qu, Fi nn,
GHAP, XV. — APPLICATIONS DES POLYNOMES SYMÉTRIQUES. 287
satisfont aux conditions
As Hon-sh = D (SE 7)
où p désigne un positif entier.
De plus, nous posons
DR — Dior bia, + (rnb x + (—1)"b,,
ce qui donnera, en vertu de (3),
P(P)= An+itn+2 Lan;
de sorte que nous aurons (5) bin = ®(p)Du.
Cela posé, il est facile de démontrer le théorème :
L Supposons que les 4, soient des nombres rationnels, differents de zéro, dont les dénominateurs sont tous premiers avec p, puis Supposons
(6) din =(— 1} (mod p), nous aurons de méme (2) D2=(—1)1+ù (mod p).
En effet, la formule (5) donnera, en vertu de (4), (8) (— 1)taon = 0} — brdn-1p + Kp*?,
où K est un nombre rationnel, dont le dénominateur est premier avec p, ce qui donnera immédiatement la congruence (7).
Quant aux Congruences (4) ED (5); nous aurons cel autre théorème :
IT. Sotent, conformément au théorème précédent,
(9) ain = (—1J+pQ», (10) BA CNPNEE pr,
nous aurons
a Q= (#4 (1) Q (mod p},
où nous avons posé pour abréger
! L [ (12) Ni rome di LÆ An
Quant à la démonstration de ce théorème, remarquons que les formules (8) et (9) donnent immédiatement, en vertu de (10);
Qp= bnbn1+(—1)"Q» (mod p).
De plus, nous aurons évidemment brbn1=6ikr= (té, (mod p),
ce qui donnera la congruence (11).
Or, il est possible de pousser ces recherches un peu plus loin, en démontrant un troisième théorème, savoir :
IL. Soit, dans la congruence (10), nR+ 3 un nombre pair, tl résulte
(13) b,=+E1 (mod p); posons ensuile (4) bn=(—1$+pQ;, nous aurons (15) 205 (—1} an (—i#Q, (mod p).
En effet, les définitions (11) et (14) donnent 2Qp=(—1YQ» (mod p),
et la formule (11) conduira immédiatement à la congruence (15). Nous avons encore à étudier les deux sommes de puissances
RTE er :
Sp= ti +As +... ar, So = 27;
S,= ai +ai+..,+an, Se À cet effet, appliquons l'identité
St (P— 4) + (p — La)... E(P— an)",
qui est une conséquence immédiate de (3), nous aurons, pour/'21,
aa) Sp=[1+(—1)']s.+ >. (— 1)9 (rjor-rs,
Remarquons ensuite que les formules de Newton
Ü Sr — QiSr1 + Qosno—.. + (—i) a si +(—i)ra,= 0,
MES ME RE , x , Libres, À DS 9 —...+(—i1) 16, 8 + (—r1Yrb,= 0,
où 11 faut supposer 127 =2n, respectivement 1-77, montrent clairement que les sommes 5, et s!. sont des nombres rationnels, dont les dénominateurs sont premiers avec p, il résulte, en vertu de (19),
Sri = (mod p),
(19) S2r = 25%r (mod p),
où 1l faut supposer » = 0. Soit 7° 21, nous aurons de même
Sr — 2S9p
= — 075,,. (mod p).
Il saute aux yeux que l’on peut déduire, de ces formules générales, un grand nombre de résultats spéciaux, très intéressants du reste, en choisissant d'une manière convenable l’ensemble des nombres 4.
1° L'ensemble des nombres
Go. DE nt onto SAN
ou l’ensemble des nombres impairs
TS D tue
-2° L'ensemble des positifs entiers plus petits que p et premiers
avec D.
3° L'ensemble des résidus quadratiques ou des non-résidus qui
correspondent à un nombre premier de la forme 4 m +1.
Or, les ensembles que nous venons d'énumérer exigent des recherches plus étendues; c’est pourquoi nous avons à regarder dans les deux paragraphes suivants, d'autres exemples de polynomes symétriques.
NIELS NIELSEN
