LXXIII. — Formules de Bernoulli et d’Euler

La détermination des sommes de puissances

(2) Sn(p)=1*+a2+3n+.. + pr,

où p et n désignent des positifs entiers, problème apparemment élémentaire, a occupé les géomètres depuis la haute antiquité, et le même problème occupe certainement, même dans nos jours, beaucoup de géomètres, dans leur tendre jeunesse.

Or, le problème susdit, apparemment parfaitement élémentaire, est intimement lié avec des problèmes qui sont à regarder comme les plus difficiles de la Théorie des Nombres, nous le verrons bientôt.

Quant aux résultats obtenus au cours des temps, les Grecs ont connu

les formules (p +1 S;(p) = LA,

(2) épi en eres,

2 +1)? ; SCD) = EE (sp), formules qui ont fourni à Archimède le moyen de démontrer la

formule ami

(3) DEtæm — (m = 1, 2, 3).

Plus tard, les Arabes ont trouvé le résultat

ou, ce qui est la même chose, (5) 5S;,(p) = S:(p)[6S1(pP) —1].

Dans cette dernière forme la formule en question estindiquée par Fermat; ce grand maître des nombres a du reste indiqué, le premier

que je sache, une méthode générale pour les déterminations des sommes S, (p), méthode qui n’est autre chose que la formule de Lampe, savoir la formule (10) du paragraphe LVI. De plus, Fermat a connu la formule générale

Dis IEEE

(6) Sn(p) = + An1D + AnepP? +. An,nP;

ce qui lui a permis de déduire la formule (3) pour une valeur quelconque du positif entier m.

Presque en même temps, Pascal a démontré, par la conclusion de n à n +1 la formule générale (6); sa méthode coïncide avec celle que nous avons appliquée dans le paragraphe LIX, pour démontrer la formule récursive du paragraphe susdit.

Or, c’est Jacques Bernoulli (!) qui a donné, le premier, la détermination générale de S, (p), en indiquant, sans démonstration, une formule de la forme

= 2 n+-1 = S—1 1 2 S » pro LINE 1): D +I ete (7) #(p) ro dd A+] D So .

De plus, Bernoulli Fa les valeurs générales des dix premières

des sommes S, (p), savoir “A SA (yo) £- ee Ne 3 2 Ss (P) EE Re 3 2 6 RETARD: p° = p5 # 3 SAP) EE EE d > 30 £ 6 5 + 2 Ds p)=£ Re Te en + D 12 12 ; : 7 6 5 3 SE) EEE RR Re 7 2 2 6 12 3 8 7 mn n0 aps S7 (p)=E UP? ve 7P p?

Ô 2 12 24 12 SA D D 9 2 3 15 9 30 10 : À Ps S9 Ever SO OP RE) PEROU 10 2 4 10 » 20 11 10 RE CE) ee M RU D LED C . po MP} nr FES AR

(°) Ars Conjectandi, p. 93-98. Bâle, LS"

CHAP. XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 297 tableau qu'Euler (1) a continué jusqu'à S,4 (p); de plus, il a calculé les premiers coefficients de l’expression générale de S, (p) jusqu’à celui de la puissance pr? (2), £

La première démonstration générale élémentaire de la formule (5) semble être due à Andreas von Ettingshausen (3) qui a appliqué les principes du calcul aux différences finies, mais cette démonstration est restée complètement inapercçue.

Cauchy (*) a de nouveau démontré la formule (7) et en a donné plusieurs applications intéressantes, tandis que F. Arndt (5) semble avoir appliqué, le premier, l'équation aux différences finies

(8) Sat) ontp ti) —p",

méthode qui est intimement liée à notre démonstration de la formule en question, savoir en appliquant la fonction B,,, (x) de Bernoulli. Quant à l'introduction d’une variable complexe au lieu du positif entier p, nous pouvons nous borner à renvoyer le lecteur aux indications données dans le paragraphe XV.

Les sommes alternées