QS

Or, la formule de Bernoulli donnera des éclaireissements beaucoup plus profonds sur le problème qui nous occupe ici. En effet, la démonstration de la congruence (14) du paragraphe LVII donnera, pourvu que p soit un nombre premier,

| San(p)=(—1)#"1B;p (modp?),

(6) | Son+1(p) =(—1)#-1 C — :) B,p? (mod p3),

ce qui donnera cet autre théorème, supplémentaire au précédent :

Il. Les deux congruences (5) sont valables pourvu que le nombre premier p ne soit pas du rang n,et dans ce cas, nous

aurons de plus

= Son(p)=(—1}"1B, (mod hp), }

De Éareitr)e (1) Cr un :) Bz (modp).

Soit maintenant p du rang 7, les congruences (6) donnent, en vertu du théorème de von Staudt et de Th. Clausen,

San(p) = —1 (mod p), San+1(p) = 0 (mod p),

SE I I Do E}=— (n+ :) (mod p).

On voit que la première de ces congruences est une conséquence immédiate du théorème de Fermat, et que la deuxième est valable

aussi pour À — 0.

Quant aux sommes alternées 5 (p), nous prenons pour point de

319 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. départ le polynome + (—1)P an

ou, ce qui est la même chose, r=n nm :

REY Sr(p)Tia, APE a r(P) r =0

Dans ce cas, nous aurons

et il est évident que #(x) est du degré x ou du degré x —1, selon que p est pair ou impair, de sorte que nous avons à étudier

séparément ces deux cas.

1° pestun nombre pair. — Nous avons à substituer, dans les farmules du paragraphe LXIX,

Qre Ur ( F ) Sr(P ),

ce qui donnera

à" à (9) been)?

7 : 27 LI 2r-V+1 Ha ne > 1» ( y )(£) s,(P) V=0 (11) = 1 [aa tp) 2 (r+ :) (D) V=Ir—1 n DUSUL | É > Sa »(, ÿ + FLE Sav+1(p)B;, V=0 N== 7 r SN Un oi à 2r—2y +1 (12) (—:1) an) = (y ) () DIT A V0

formules qui sont parfaitement analogues à celles que nous venons

de développer pour les S,(p).

2° pest un nombre impair. — Dans ce cas, nous avons à substuer, dans les formules générales susdites, 7? — 1 au lieu de n,et

CHAP. XVI. — LES SOMMES DE PUISSANCES. 313 à poser : LL) dr= F Srti\P),

ain l

de sorte que nous aurons

V=7 —1 + : ! . S T+I\ > (13) Re nrles:(n) = > DE )rr at), Y=0 V=27—1 f2T HT DD\MENAEE (t4) O— > Cyt(e) S,+1 (D ); Y=0 (15) Cu) [s2rs207) nv (r+ ) sra(p)] V=7—1 è / LTD ns < = > LA pros (p) Be V— 0 Vire =. Le ; r+02 D \ 27--V+1 (16) (—1)"52r+2(p) > (= te ue ) (2) S2y+1(P)Tr-y+ie V0

Appliquons encore les formules (6) et (>) du paragraphe XV,

savoir $S=/1

2 NC) Ba-s(x)

jt vs (s +1)!

S=—= 0 EE 4; À CG HA br PRE le) 2% - ) b gp! Se SL ou, ce qui est la même chose, $S=7r (æ +1)? EN 1er) nl d(s+:1)!?

x +1)! . : ES (Er ( : ) 2E, (æ) \ (12 ù 5 Tv É = LE | il résulte ces deux groupes de formules r=n—î1 It = 1} ST td > Ge ce Ab 1) (rs) \ É Jl'=n

: . nm pr=2su(p)+Ÿ (a fa ) ET og

ŒIr (18) Fo:

(p +1) (— 1) = 2 5a(P) +Ù éai Sn=r(P):

PA LXXVII. — Applications des sommes de puissances.

Supposons connues les sommes de puissances que nous venons d'étudier, il saute aux yeux que l’on pourra résoudre un grand nombre de problèmes concernant la sommation de certaines séries. Nous nous bornerons ici à un seul problème de ce genre, dont la solution n’exige que les sommes S,(p) et 5,(p).

A cet effet, soit

f(x) = drt+ a, a+... + An Z + An un polynome quelconque du n°"° degré, la somme JO) +fC)+fG) +...+f(p)

est une série arithmétique du n° ordre. Quant à la sommation d’une telle série, posons, dans f(x),

CS PSE oi oo EE

il résulte, en ajoutant tous les résultats ainsi obtenus,

(1) FO)+fG)+/G)+..+fD)=Ÿ a Sn CP)

Le même procédé donnera évidemment la formule analogue

S—=p—i l'=n (2) D: (— 1} fp —s) SN y Sn—»(p ).

= 0 Pi=10)

Soit, par exemple, J(z) = z"(x +au}e,

nous avons tout d'abord à déterminer une suite infinie de poly-

nomes entiers Pr) ibn) Fatr)e Far), ce assujettis à satisfaire aux conditions

(3) Fon41(r) — Font (æ —1) = 22(x +1)" [Fenm(o) =o],