LEO

Ti) /n +1

»Y pet Bs Yes (M) (mM}r-£s+1 + (— 1) ne ( 25 ST2S 1( )( ) ; es

formule qui est précisément de la même forme que (10), c’est-à-

dire que la formule (11) est valable pour un nombre composé quel- C onque.

rer

Posons ensuite, dans (12), m— 1, il résulte, en vertu de (6),

<> ; Mzo(M) (— 1) —1 /n DS NE CE NT In ee DRE TT a

ce qui est précisément la formule générale de laquelle Thacker (a a indiqué des cas spéciaux, tandis que J. Binet (?) à étudié, presque en même temps, mais d’un autre point de vue, la somme S,.

Soit, dans (12), M égal au nombre premier p, nous aurons, après un calcul simple, la formule de Bernoulli pour la somme Sa(p—1).

Soit ensuite M égal au dénominateur bernoullien du rang A, savoir

M== bn = P1po2 ..py;

où les p, sont l'ensemble des nombres premiers du rang », le théorême généralisé de Fermat, savoir le théorème du paragraphe EX, donnera

Son = O(Ün) (mod b, ),

de sorte que nous aurons, en vertu de (12),

o(bn) = on lon nt Von—1 (bn)Bn bn (mod b,) ou, ce qui est la mème chose,

RTE ro ne (p1—1)(pa—1) . (Py—1) E A — pri PE) (pee ) (mod db»),

savoir le théorème Î du paragraphe LXIT. Quant à la formule (12), elle n’est applicable que pour #25, de sorte qu'il faut déterminer directement la somme S,; on aura, par la

même méthode, : M o(M) (14) ST mar EL

résultat qui est évident, du reste, parce qu il est possible d’ordonner

EE ———— — …—…

(1) Journal de Crelle, t. 40, 1850, p. 89-92. Voir aussi les Notes dgns les Nou-

velles Annales, t. 10, 1851, p. 324-328, 328-330. (2) Comptes rendus, 1. 32, 1851, p. g18-g2r.

NIELS NIELSEN

329 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. les nombres &,, de sorte que (15) as + tu s+1 = M (RS SET

Nous aurons, en vertu de (12),

M2o(M —1)M4,(M ?( es 1) on je

: ne 6 (16) ne M3 gl M) nine Yi(M).

L’analogie entre les sommes S, que nous venons d'étudier et les sommes de puissances ordinaires peut être étendue plus loin encore. En effet, la formule (12) donnera immédiatement le théorème sui-

vant :

I. Supposons que le nombre composé M ne contienne aucun facteur premier du rang n, nous aurons les congruences

| Sen —=0 (mod M), (17) A Sent1 = 0 (mod M?); si Son = (—iI) Yan (M)Ba (mod M),

PE Sani Dr (n = :) Vor—1(M)Bx (mod M),

où cl faut supposer n21.

Les congruences

| Sen =(—i)14d,,1(M)B,M (mod M), Son+1 = 0 (mod M),

| “ Sort (1) 1 ( — :) Van-1(M)B; M (mod M)

montrent que le cas où M contient des facteurs premiers du rang x est assez compliqué.

Quant à la formule (12), elle peut aussi être déduite directement de celle de Bernoulli, à l’aide des remarques qui terminent le paragraphe IV, méthode que nous avons à appliquer pour déterminer la somme

(20) Sn—= D (—1)x92 cd L

dans le cas où M est supposé impair, de sorte que la moitié des

nombres &, sont paurs,

les autre S Impairs.

À cet effet prenons pour point de dé ‘part la formule se pe “ea n = Mr—25+1 Sur “( — 1 :

En , les for-

valable pour #21, nous aurons, par la méthode indiqué

Sn(M—1)—(—1}2E,

mules générales des = ES ‘ Ton NN ( 32 = : ( de ) UP M) M? 2s+1 DES DIRE — LU N, + à ( v+nT QUE 0 EN NT EEE —1) sl Conti =>: 22 ce 3e ) Us -1 ( M )M? 1—25+2 one Von+1(M) St ce qui donnera pri Cr) LM C9 — 0, C1 — dat M), Go = b(M), (22) . —ÿ)3M?2 = Cr UsOM) (—1) 31 (M).

\ Appliquons maintenant la formule (15), il est évident que les 5 satisfont à des formules, obtenues de (1), (2), (3), (4) du paraeraphe LXX VI, en y posant PM, SP

Soit M un nombre pur, les 5, satisfont à des formules, obtenues , 'd J CCD) —i0)

), (15), (16) du paragraphe susdit, en ÿ posant

de (139,4 DE=AMr