LXXIX. — Théorèmes de Lagrange et de Wi'son

Revenons maintenant à la factorielle

PACA) AGREE RAGE Sr

CEA SE introduite dans le paragraphe VIT, et posons, comme ordinairement, (2) W(r)= CirPE CGI TPA EE NE CPr72 ($ R DE les C sont les coefficients de factorielle du rang p. La définition (2) donnera immédiatement

(QU I (3) or

tandis que CG est la somme de tous les produits formés de s facteurs différents, pris parmi Les nombres DE,

de sorte que nous aurons

(4) TE PODELIE

Appliquons ensuite l'identité évidente (æ+pow)(r)=w)11(x), il résulte, en vertu de (2), la formule récursive

(5) Chi = Ch + p C1 (1<r£<p —1).

Cela posé, remarquons que la fonction | É I FA x Vr(æ) = (2 +1)(æ+2)..,(r+p—1)

satisfait à la condition

JC z—p)=(-i)1f(x),

les formules du paragraphe LXIX donnent immédiatement

Sr]

6 AE ue rene 5 CS (6) [ir —( 1)"] GC, = > (— 1) Hire n pe, V0

S—2, +1 S Sel 21—S +41 G7:) 0— D: — 1) P 2 je NEA 1e ) ee = y, St 9 pi VA :

(8) (—- 1)! CAPE = —r) cr] S=7—1 EE ON RARE APE — (Ss à 5 ( 2r7—925 (025+1 > 5 | 27 —925s L Rise ÿ=—=\0.

S=7 c : : DD S — 1 DE 2r—925+1 À. (© Al rC2r+ri > — «(7 = GNT .

9) ( DATE ( Var —os+i : po lr=si =D

Appliquons ensuite lidentité WT) — Wph1(T —1)=(pæ+i)jw,(r)

tirée directement de la définition, 1l résulte

(10) War) RE (PET) D: (p—s)! CB Ur),

où K est une constante, savoir

Cherchons maintenant les dérivées de l’ordre p — r +41 des deux membres de la formule (10), puis posons æ — 0, il résulte la for-

mule récursive

—T+I ; ) Mn (11) er res O5 — 3 C? É <<!

Pre LE =Yeni(PT TT) Bose, s=1

où il faut supposer 2 £r£p —1, tandis que l'hypothèse r = p don--

nera la formule spéciale <

— al (12) BNP = dB. CE: