CR

qui est due à Schlümilch (!) et retrouvée par Radicke (?).

La formule (11) est essentielle dans la théorie des coefficients de factorielle.

En effet, soit, dans (6), r un nombre impair, nous verrons que Ce est toujours divisible par p; soient ensuite, dans (10),7°un nombre impair, p un nombre premier, on conclut que C° est divisible par p, pourvu que 2s5£p—3; c'est-à-dire que nous avons démontré le théorème :

I. Soit p un nombre premier impair, les coefficients de factorielle LE satisfont aux congruences

(13) C?'=0 (modp}, Ir, (14) C}"t1=o (modp?), 1£r<E—, (15) Ci=o (modp).

Lagrange (3) a démontré que C; est toujours divisible par pP,

supposé premier, pourvu que 1<7 <p — 2. Quant à la coneruence 2 = NS Le)

(14), Wolstenholme (f) a donné le cas particulier qui correspond

(‘) Archiv de Grunert, t. 9; 1847, p.334.

(°) Recursionsformeln fur die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, p.25, Halle, 1880.

(°) Nouveaux Mémoires de l’Académie de Berlin, t. ?, 1771-1773, p. 125-197. U est très curieux que le collaborateur du Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik (1. 30, p. 180, 182) attribue à Ferrers le théorème de Lagrange.

(®) Quarterly Journal of Mathematics. t. 6, 186», P. 35-39.

à la plus grande valeur de r, savoir la congruence (16) Cr 2=0 (mod p?),

qui est une conséquence immédiate du théorème de Lagran En effet, soit p un nombre impair, l'identité

op QE.

= SU = SE Pal —9 An 9 NE TE HIE + wp(p) = p? CDS tb pi Cr pci

donnera

—2 __ (1 Vs BE = .

D? CG, pt 3, ,+ (CFE Pen Ce 2 — 10}

soit ensuite p un nombre premier, on trouvera immédiatement la formule (16), en appliquant le théorème de Lagrange. De plus, on aura, dans ce cas, (15) £ Cr? — Le Gre> (mod p)

Remarquons maintenant que (p —1)! est premier avec p, nous aurons, en vertu de (16),