LS

EE CDEUT)E I > ) JT

= 0 (mod p?);

soit ensuite pP=2n SR HCNCEULE dernière congruence se transforme

en celle-ci :

F=n (18) D 0 (mod), Fate |

ou, ce qui est la même chose,

+ —- +...+ — =0 (mod p).

Quant à la congruence générale (14), elle est souvent attribuée à M. Glaisher (!), cependant j'ai publié cette même congruence (?)

six ans avant M. Glaisher.

(1) Quarterly Journal of Mathematics, L. 31, 1899-1900, p. 1-39, 321-393.

C) Nyt Tidsskrift for Mathematik, &. 4 B, 1893, p. 1-10. Malgré la remarque hautaine, dans le Jahrbuch über die Forstchistte der Mathematik (t. ®, p- 411) : « Die Beweise sind indessen nicht immer ganz genau » de mon compatriote M. Valentiner), je me permets de prétendre que mes démonstrations sont

rigoureuses.

328 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. Revenons maintenant à la formule obtenue de (11) en y remplacant 7. pars 1-4; puis supposons premier le nombre p, il résulte

la congruence

rC2'=(—7r)1 PE P(P—1) B,. (mod p?), 27 2 SaVOIr . se. rB.

Péri De (mod p), VA: 2

de sorte que nous aurons, en vertu de (6), le théorème dû à

M. Glaisher (!):

IL. Soit p ur nombre premier impair, les coefficients de factorielle satisfaisant aux congruences

(19) el Ci = (Gus - # (modp), p TS Te (— 1) (or +i)B, ; ; (20) pe Cb ni Ze (mod p).

Nous avons encore à étudier la formule (12); soit p = 27 +1 un nombre premier impair, 1l résulte

(21) (p—n!l=(-i)tp(p+1)B, (mod p?).

Appliquons ensuite le théorème de von Staudt et de Th. Clausen, il résulte le théorème que Wilson (?) a indiqué sans démonstration :

HI. Soit p un nombre premier quelconque. nous aurons la - CONSTUERCE

(22) (p—1)!+1=o (mod p).

La première démonstration connue de ce théorème est due à Re er

Lagrange ( }+ Posons maintenant, conformément à (22)

(23) (p—i)! =—1i+pW,,

EE 1

‘) Voir la note (!) de la page 327.

(?) Ware, Meditationes Algebraicce, p. 128. Londres, 1750.

(°) Nouveaux Mémoires de l’Académie:de Berlin, t. 9, (17971); 19%99, p.125-1399. - \ 4

CHAP. XVII. — LES COEFFICIENTS DE FACTORIELLE. 39 le nombre W, est un nombre entier, que nous désignons comme le quotient de Wilson. Introduisons maintenant, dans la con-

gruence (21), l'expression de (p —1)! tirée de (23), il résulte la congruence

(21) creer (mod p), P=2n+I1,

due à M. Glaisher (1) et indiquée plus tard, sans démonstration, par M. Lerch (?).

Quant au théorème de Wilson, nous aurons évidemment Fin —°, 2l+r—= 3, UE En ES

mais Liouville (*) a démontré l'impossibilité d’une équation de la forme (p—1)! +i= p},

où p est un nombre premier plus grand que 5. De plus, la con-

gruence (24) de M. Glaisher donnera immédiatement le théorème :

IV. La condition suffisante et nécessaire pour l'existence de la congruence (002) (p—1)!+1iz=o (mod p?), où p est un nombre premier, est représentée par cette autre congruence

(26) (M Bas += 0 (modp), pP—=2n- ET.

On voit que la congruence (25) est applicable pour p—5; de

plus, nous aurons

Be + ie sal + Les 1-0 (mod 13), Ur) 2730 13 210 12! +—1=0 (mod 132);

on trouvera, en ellet,

— 1) Quarterly Journal of Mathematics, t. 31, 1899-1900, p. 327.

CE) s (?) Mathematische Annalen, \. G0, 1909, p. 488. | À (5) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2° série, &. 1, 1856, p.

Le]

Appliquons maintenant le théorème de Wilson; il résulte, en

vertu de (18),

RC RT ï ; Re FD pe (mod p ),

vb (27) = > = Ê Bat (mod p), P=2R+1.