LXXX. — D'autres démonstrations
Supposons connue la théorie des congruences d'ordre supérieur, dont le module est un nombre premier, il est très facile de déduire d'un seulcoup, et le théorème de Wilson et les congruences de Lagrange.
À cet effet, prenons pour point de départ l'identité évidente
T 4 ; = (1) = Hp(T)— (xl r1)= Cire Cr PCT PIC
où p désigne un nombre premier, puis appliquons le théorème de
Fermat, il est évident que la congruence
(2) Girr2+ Cire +. + Ch ag +[i1+(p—1)!]=o (mod p),
du degré p — 2 par rapport à æ, admet les p 1 racines incongruentes
(5) DEN NON TD le parce que le premier membre de (1) est, pour Les valeurs (3) de +, divisible par p; c’est-à-dire que la congruence (2) est identique, de sorte que nous aurons et les coneruences de Lagrange
Le \S Le
(4) C,=0 (modp), TRS et le théorème de Wilson
(5) I +-(p—1)!=o (mod p).
Où voit que cette démonstration ne donne pas les congruences
de M. Glaisher, ce qui a lieu pour {a méthode suivante.
GS Ve
Remarquons que le polynome entier du degré p — 1 I & . Op(æ) = LP A+ CixP-2+ Cirp-8—,, + HS PR SE
a les zéros D (Di):
la formule de Newton donnera
(6) S p(P —1) — CiS,-3(p —1) +...
DAC IS, (p —1}+(—1)rC, = 0,
où 1] faut supposer, par conséquent, 1 £r£p—1. Soit, tout d'abord, dans (26), r un nombre pair, On aura
(a) Sar(p —1)+2rG$"=0o (mod p?),
ce qui donnera
(8) C?"=o (modp), V7
de plus, on trouvera, dans ce cas,
op
2p IE Cy" = ES mi) (mod p),
d'où, en vertu de la congruence (5) du paragraphe LXX VI,
GeIreE Up P Tr 27
(9) (mod p).
Soit ensuite r —p—1, la congruence (7) donnera, en vertu de (8) du paragraphe LXXVE, le théorème de Wilson (10) (pr Er = 0 (mod p),
et, de plus, nous aurons, en posant p—2n—+#1;, puis introduisant le quotient de Wilson, défini par l'équation
(p—1!=—-1i+pW,,
cette autre congruence nb ;p hour 7 W,)=0 (mod p?),
ce qui donnera immédiatement la eongruence de M. Glusher
a Wy=(— 148, —1+ : (mod p).
Étudions maintenant le cas où rest supposé impair, NOUS AUTONS,; en vertu de (6),
{ Sos (p —1) — CESs,(p —1) + CS Si(p —1)= (27 a)GT (bre ‘ |
(mod p3),
ce qui donnera immédiatement
(13) Cÿ"fiæ=o (modp?), DST
de plus, la formule (12) donnera, en vertu de (0) et des résultats obtenus dans le paragraphe LXX VIT,
He PL nr) tbreenp;, (14) CP = à ZE (mod p).
