LXXXI. Théorèmes de Lagrange et de Gauss

Soit (a) m—=phip}...py

un nombre quelconque décomposé en facteurs premiers, il est évident que la fonction

(2) J{r)=(r+um)(x + 42)...(x + su), où (3) Gi os sy +.) op 2u =o(m)

sont les positifs entiers plus petits que 72 et premiers avec m», est analogue à la factorielle que nous venons d’étudier. Dans le cas où mn est supposé premier, on aura même

(4) fe)= Loue).

Posons maintenant (5) Fa ee ai ie ay? + y, puis remarquons que f(x) satisfait à l'équation fonctionnelle

CHAP. XVII — LES COEFFICIENTS DE FACTORIELLE. 50 il est évident qu

e les coefficients &, satisfont aux relations obtenués des formules (4), (5

), (6), (7) du paragraphe LXIX, en y posant D == DU De Introduisons ensuite les sommes de puissances (G) S,= apart... ton,

étudiées dans le paragraphe LXX VII, nous aurons, en vertu des Æ formules de Newton,

GLS, GS, dS ot. +(—i) a, Si + (—i)ra, = 0,

où il faut supposer 1£7r< 2.

Soit maintenant »2 un nombre impair, et soit 2q +1 le plus peut de ses facteurs premiers, le théorème 1 du paragraphe LXX VIII donnera, en vertu de (5), cet autre théorème :