FOUR

Or cette analogie avec les coefficients de factorielle semble un peu difficile à étendre aux valeurs de 7 plus grandes que g — 1, saut pour le dernier des coefficients susdits, savoir

(10) y 14273 - + . Lo

qui à une propriété analogue à celle de C7", exprimée par le th6o-

rème de Wilson.

A cet effet, nous avons à étudier les 24 congruences du premier

degré

(11) D 1 (not) Gr eo He one

il est évident que la congruence (11) à une racine æ qui satisfait

aux conditions 1£x£mM—I,

et cette racine est première avec »7. De plus, la congruence ne peut

avoir aucune racine commune à celle-ci :

2x =1 (modm) (25) Cela posé, on peut choisir deux groupes de nombres

Lj; Lss La; es gs

AP No Time

parmi l’ensemble (3) des positifs entiers plus petits que "1 et premiers avec m, de sorle que nous aurons

au =1 (mod/mn), (a re)

ce qui donnera (1) CRE CE ae li (modp).

Il nous reste encore à étudier les congruences (13) a? = (mod), ce qui donnera, de même, (14) (m—a,) =1 (modm), et de plus, nous aurons, en vertu de (13),

(5) a (M—a,)=—1 (mod).

Multiplhions ensuite la congruence (12) par toutes les congruences de la forme (15), nous aurons le théorème de Gauss (1) :

I. Soit m un positif entier quelconque, nous aurons (16) dy = (—1 jè (mod),

où à désigne le nombre des congruences de la forme (5):

Gauss à aussi déterminé la valeur du nombre à, ce qui nous conduirait trop loin ici:

(') Disquisitiones arithmeticæ, avt. 76, TS: Untersuchungen über hôhere Aritlemetik, p. 54-55 (Berlin, 1889); Œuvres, t I, p. Gr-62.

Soit maintenant 72 égal au nombre premier p, la congruence (13), savoir (a; +1)(&; —1) = 0 (mod p),

n'a que les deux racines X,—= 1, Xy= D — I,

de sorte que le nombre à aura la valeur 1, et nous aurons, par conséquent, le théorème de Wilson, théorème qui se présente, en vertu de (12), sous cette autre forme aussi,

(17) (p—2)!æ=r (mod p).

Appliquons maintenant le théorème II du paragraphe LXX, il résulte la proposition, due à Lagrange (!) :