I. Soit p—2n+1 un nombre premier, nous aurons

(18) (£ !) = (—i)t+1 (modp).

Supposons ensuite que z soit de la forme 24 +1, ce qui donnera p = 4q +3, nous aurons évidemment une congruence de la forme

— ] cs (19) es (mod p);

posons ensuite

e DSL

= (—iX+pW,,

le théorème If du paragraphe LXX donnera

(— 1} og+1 (CA 9 2

(2r) WE — (mod p),

où W, désigne le quotient de Wilson, tandis que nous avons posé,

pour abréger,

I I Li

(52%) hog+41 = : = TMC io

2 13 2g Ai

Dans nos recherches sur les résidus quadratiques, nous AvVOnS à

revenir aux Congruences (1Q)et(21).

(!) Nouveaux Mémoires de l? {eadémie de Berlin, L 7,

Lilas D. TÔT:

LXXXII — Les nombres €’...

Revenons maintenant aux congruences (11) et (12) du paragraphe LXXIT, que nous avons à étudier plus profondément, à l’aide

d’une généralisation curieuse des coefficients de factorielle C;.;,

et des nombres €7.,1.

A cet effet, introduisons une suite de polynomes entiers définis

par les expressions

Pr) < ie 1 P(x)= — + —; à 2 »

(1) { <m Elan, 7% (— 1)S-1 /m—+i sa Py+1(&) —= = + eines B,x'-2s#1, m +I 2 > m +1 25 \ = |

de sorte que nous aurons généralement

ce qui donnera, pour nr 22, (2) (— 1) Pr (— æŒ—1) —D,(T).

Cela posé, nous avons à déterminer une nouvelle suite de polynomes entiers, définis par les conditions

Wo(r) = 1, r=n—1 > SR I EL er On nt Re ue

de sorte que Won(x) est précisément du degré 27 par rapport à +. De plus, je dis que les polynomes ainsi définis satisfont à l'équation fonctionnelle

Ton (T +1) = Von(r) +(x + 1) Fsn-2(2).

En effet, posons æ— p, où p est un posiuf entier égal à x au moins ; 1] résulte

(5) Papi = Srtp}

de sorte que la définition (3) donne a, en vertu de la formule (6)

du paragraphe LXXX, ( 6) on(p) = Gr

et l'équation fonctionnelle (4) se transforme, dans ce cas, en la formule bien connue

c'est-à-dire que l'équation algébrique (4), du degré 27 au plus, a une infinité de racines inégales, savoir que cette équation est une identité.

Posons maintenant, dans (3), —æ—1 au lieu de x, il résulte, en vertu de (2),

à (7) nano À Prune) Var),

tandis que l'équation foncuionnelle (4 ) deviendra (8) Ton(— 2) = Von(—r —1) — ZX Von-n(—T—1), de sorte que nous aurons (9) Van(—p 1) = 541

car cette hypothèse donnera, en vertu de (8),

SA; == Sy: PS D ce qui n’est autre chose que la formule récursive (9) du para-

sraphe LXXII.