CHAP. XVIII. — LES FORMULES RÉCURSIVES DES B

nous aurons, en vertu de (1), les deux relations

S=R ENT ET (4) DA 2 Jar noms 0, SA S— 71 = DIU #9 Se DE 25 JAc= 1 n— on — Qon+2, S—1

dont la première est due à Hermite.

Or, il faut remarquer que G.-F. Meyer (!), déjà en 1862, a essayé de développer la formule (4) d'Hermite, mais qu’il n’a pas réussi à donner sous forme simple l'expression Q@,,,1. En soustrayant les deux formules (4) et (5), puis posant

2 2n AV Fire » I DDC (6) On = Qont2— nr > —= , D 7: SPR—S—T F1 Sd il résulte la formule de Stern (?) SR L DIU (7) À (5 )A=—ammi on.

De plus, Stern, dans son grand Mémoire inutulé : Beiträge sur T'heorie der Eulerschen und Bernoullischen Zahlen (3), consacre les six dernières pages à une application analogue de ses trois for-

mules récursives :

sS=n—1

D (2, )8+cr[() | =, > Cr et, )Be+iren + ne 2 D ay s)e- rent Br 0

(:) Archiv de Grunert, t. 38, 1862, p. 241-246. (2) Journal de Crelle, 1. 8, 1878, p. 267-269. (

3) Gottinger Abhandlungen, t. 23, 1878 (44 pages).

359 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR L\ THÉORIE DES NOMBRES. savoir les formules (16), (17), (18) du paragraphe XEIMulest évident que ces formules satisfont aux conditions indiquées dans le théorème IT du paragraphe précédent.

Soit ensuite p un nombre premier impair, égal à 22 +1 au plus, il résulte par conséquent les trois congruences

- ?2n =} =1 œ 27 & (8) > =Ôp (mod p ), Sp—Ss—12, s=1 Sp à (9) DA ne >. (modp), Téd NSD SET SA <rn pl \ D Do: "

NN

où Ôp—1, 2p—0, selon que pest du rang # ou non. Stern démontre directement chacune des trois congruences en question.

Tels sont ses résultats obtenus jusqu'ici en appliquant, sur les formules récursives, le théorème de von Staudt et de Th. Clausen:; on à cru évidemment que les congruences ainsi obtenues représentent les propriétés caractéristiques des coefficients binomiaux.

En effet, Hermite mentionne la fonction numérique Q,, définie par la formule (3), dans le cas où 72 est un nombre impair, savoir m—2n—+1, mais il existe une fonction analogue du nombre pair Mm—2R +2, et ces fonctions ne sont autre chose que des cas partüiculiers de la fonction générale

qui figure au second membre de la formule (4) du paragraphe précédent, pourvu que les conditions indiquées dans le théorème Il soient remplies.

Lipschitz donne le cas particulier de notre théorème général I du paragraphe précédent, qui correspond à la formule (4) d'Hermite.

De plus, on dit que cette même formule d'Hermite soit une formule récursive pour les nombres entiers A, quoique notre formule générale (4) du paragraphe précédent ait précisément la même pro-