AE
de sorte que la formule (20) est certainement vraie POUF 7—0 1: Soit ensuite 7 21, nous aurons tout d’abord, en vertu de (20),
1e MT a ifæ+n—i (21) CAE sén-1(æ) + À , )
7e NN I ; Ï L ner ï , = (22) den(æ)= > 8gna(æ) + 2 ( ESS °):
Supposons maintenant, conformément à (19),
ea = (PT?)
TEE
puis applhiqu ons l'identité
TEEN Ms 2-0 {me CAES ES OO) — + :
ma 142 DREEERT
il résulte, en vertu de (22), que g»(æx) satisfait à la condition (19).
Soit particulièrement + — 0, nous aurons, en vertu de (20),
(23) ANR Gore (71= 0); :
(24) Per (uen):
Dans le Chapitre XII nous avons à développer des relations curieuses entre les fonctions 4*(æx), Ci(x) et g,(x).
VIIL — Développements d’un polynome quelconque.
Revenons maintenant à la formule (22) du paragraphe V, savoir
sS=mMm
(1) FE+P = (P}asst8 +5) (2 70);
s —0 où f(æ) est un polynome du degré n par rapport à æ, savoir (ce) (LC) = dur ar" LE, LH an10 + An,
tandis que p désigne un nombre entier non négatif; je dis que nous aurons l'identité suivante, beaucoup plus générale,
(3) Je+b=Ï(C)ars+s (2m,
SD
oùzxet 8 sont des variables complexes quelconques.
En effet, étudions l’équation algébrique (3); elle est du degré m au plus par rapport à æ; néanmoins cette équation admet, en vertu
; RE ARTE de (1), comme racine un posiuf entier quelconque, c’est-à-dire que cette équation est une identité.
Introduisons maintenant, dans (3), au lieu des différences qui figurent au second membre, les expressions correspondantes tirées : ; tu
de la formule (7) du paragraphe V, puis ordonnons, d’après.
les f(B+ p); le coefficient de f(B +) denis en vertu de la formule (16) du paragraphe VII,
E'er(i) Tee) CET)
ce qui donnera cette autre forme de la formule (3) :
S= mn
(4) fu +B=Ycnr-(t) (Fe )f(B+s) (m2 n).
Cela posé, nous aurons par exemple
(Ée)=Sem (CSL NE) cm2)
d’où, en posant x : « au lieu de x, puis en multipliant par ) ) P
ap les deux membres de la formule en question, S= M { x € = SG (5) (B+ep=Ÿ(-nms| 2 (- Van (m2p). $—0 $ \ M—S ,
Posons maintenant, dans (5), successivement PER CNE —=AUN RO OI puis multiplions respectivement par
@n, 1, @o, CE] —dn—9;, An—1, An,
les équations ainsi obtenues, nous aurons, en vertu de (2
(6) fa+B=Ù (un
os el8
F(B+ Sa) (m2n).
