CONTE

N° # Cela posé, nous aurons les deux congruences (8) (p—1)l+r=o (modp), A-1=o (modp),

dont la première n'est autre chose que le théorème de Wilson: c’est-à-dire que nous venons de donner une nouvelle démonstration de ce célèbre théorème.

Posons maintenant, pour abréger,

(9) (p=:)l1=2W,, API =D,

où W, n'est autre chose que le quotient de Wilson, les formules (6) et (7) donnent immédiatement les expressions explicites

S—=p—2 TRE M. robe es he (10) WP 2 1 ( : ) (p—s—1), S—=p—2 | ce P—1\, Cor) ME MbIEE Da À kp— si)

Appliquons ensuite les congruences évidentes

(2 }mty (mod p),

nous aurons de plus

S—p—2 (12) W,= > K(p—s—1) (modp), s—0 S=p—2 à (Cr) W,=#(2) + È (— 1} Æ(p — ss — 1) (mod hp); S=— 10

la première de ces congruences est due à M. Lerch (!). Quant à la première des congruences susdites, posons, en vertu

de la formule (12) du paragraphe LXXX VIT,

Do IUT 1) DT 4 p) Go Pie ==) (14) 1-35... (P—2) Co 911 Done

(!) Mathematische Annalen, t. 60, 190, p: 472.

nous aurons, par conséquent,

ñ ; RP ee == = (mod?) (15) PREE ES Ro lo dp), s—p—2 (16) W ph = D: (—1}s Æ(p —s —1) (mod p), s=0 ce qui donnera, en vertu de (13), (17) W,=wp+ (2) (mod p).

Pour trouver maintenant une expression explicite du quotient de Fermat Æ (a), nous avons à appliquer la formule eulérienne (1) du paragraphe LIX, savoir

Dpt

g aP— a = > fs Slt) Gp IN):

ce qui donnera le résultat bien connu

(18) Gate) = Le (FT )S ,(&—1),

d'où, particulièrement pour 4 = 2,

(19) RO D Hé

Introduisons ensuite, dans (10), au lieu des Æ(p—s—1), les expressions correspondantes tirées de (18), nous aurons une expression explicite, mais très compliquée, pour le quotient de Wilson.

Remarquons que les formules (18) et (19) donnent les congruences

F=p—i à he (20) a K(a) = D RS pat (modh), FT r—=p—1 : — 11 (21) DO) CE La (mod p),