DD

I : & ‘ s (7) e [ws(p) —p!']—pK,=— > ChSon-r(p —1) + p(p —1)W;,

où nous avons posé, pour abréger,

(8) K,=AkA(G)+k(2)+4(3) +...+ k(p —1).

Or, en introduisant, successivement dans (4), les valeurs (6), on aura, en ajoutant toutes les formules ainsi obtenues, (9) W;=K; (mod p), savoir la formule (12) du paragraphe XC.

Cela posé, remarquons que la formule (5) s’écrira aussi sous

cette autre forme :

: & ñ D Copol= pKr= >> Cp San-r(p —1) + pp —1)W,

nous aurons

r=P—1 : 1 EW, = K))= Wp+ a D ChO3n-r(P=—1) (mod p), 2] 2 / 1 Ep ou, ce qui est la mème chose, T7 1

1 se \ FUN K») = Wh + = >. ee San-2r(P ) (mod p);

appliquons ensuite les congruences modulo p

Tiers (—1)-1B, De PEER

25 2n—2/r 7 —(—7ry2 71h, P 12) 27 P Si (P 1) ( ) [ip]

il résulte finalement

(10) BW Ke) Woo) >

(mod p).

Revenons maintenant à la congruence (2), elle se rattache évidemment à un problème proposé par Abel (1) :

Le nombre aP-1—1 peut-il être divisible par p?, p étant un nombre premier et a un entier moindre que p et plus grand que l'unité ?

On sait que Jacobi (?) a communiqué des solutions du problème susdit, par exemple,

DIMM CS, a=Q, D'= 99; a =1f, DES CS

Quant au problème général, nous aurons la proposition suivante :

L. La condition suffisante et nécessaire pour l'existence de la congruence

(11) aPl= 1 (mod p?),

où p est un nombre premier qui ne divise pas à, est représentée par cette autre congruence :

S—=n—1 I— 4 4 LR, (1) = — (nes == St s=1 ï

a?n—2 7) (mod p).

(!) Journal de Crelle, t. 3, 1898, p. 212; Œuvres, L. I, p. 619. (©) Journal de Crelle , 1. 3, 1828, p. 301-302; Werke, L. NI, p. 238-230.