XCII. — Détermination des sommes diverses

Posons dans la formule ant? GT (4) NU Es (p= 2m +1),

où » désigne un entier non négatif, successivement

: à] GR, Don one elle

puis ajoutons toutes les équations ainsi obtenues, nous aurons a=p—1

Ro) mr 1) r pe D P

Soit tout d'abord nr = 0, nous aurons la congruence, déjà trouvée

dans le paragraphe précédent, r—=p—1 (3) >

k(r)=(—i1)r1B,,; + RAS.

(modp),

tandis que l'hypothèse n — 1 donnera de même

r'Æp—i (4) Di rk(r)= = (mod p); 7° = A1

ces deux congruences sont dues à M. Lerch (!).

Soit maintenant, dans (2), à un nombre pair, nous remplaçons x

par 27%, ce qui donnera, en vertu de la formule (11) du paragraphe LX VIT,

r'=p—1 = nB, (5) DE 72n Æ(r) — rl

m d 2)" TT

Remplaçons, au contraire, dans (2), n par 27 +1, il résulte P=p=il &.

(6) D: rat k(r)=o (modp); = A1

(!) Mathematische Annalen, t. 60, 1905, p. 477:

applhiquons ensuite de nouveau la congruence (11) du paragraphe LX VIT, un calcul simple donnera

(7) > rt k(r)=(—i)"Bh (mod p).

JR C'est un fait digne d'attention, ce me semble, que les seconds membres des formules (5) et (3) sont indépendants du nombre

premier p.

Revenons maintenant à la formule (1), nous aurons de même

É NN! " Sn+2m(P —1)—Gx(p —1) ne] — 1)" 72 K(r) = = (8) Ÿ nr kr) =