ST

(æ dm) n=s ri ;

B CrN— — B. 1).

ar md (n—5s+1)! s( ?

où æ et à sont des variables complexes quelconques, nous aurons, en introduisant

puis posant

(9) AY ET —p,

cette autre représentation de la somme de puissances De (4) s=n+1

n| pr-s+i x 1 D Sal n!B,to)+ > mn / B,(—=)

SRE) gl

S—=0 Soit ensuite, dans (10), P un nombre premier Impalr, tandis

que g et » désignent des entiers non négalifs, le théorème de von Staudt et de Th. Clausen donnera la congruence

7e ; +4] (11) S,(a)=n! [inu(—2) — Bru(o)] (mod}p), où il faut supposer 1£R2p —5.

Cela posé, nous aurons immédiatement, en vertu de (8), le théo-

rême :

374 TROISIÈME PARTIE. — APPLICATIONS SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. I. Soit p—2m +1 un nombre premier impair quelconque, el soit LIT

les définitions susdites de R(a) et I(a) donnent

à ; ; L (12) R(a)—I(a)=m! [Bu (— 2) —Bnuto)] (modp).

isie i ar ° ier tel LT ASE DE Désignons ensuite par «a, un autre entier tel Que 4 < di =} 5 puis posons CUT E on mL il est évident qu'on pourrait, en vertu du théorème susdit, déterminer les nombres des résidus ou des non-résidus parmi les

nombres CAN TA en Te

Dans ce qui suit, nous ne donnons que les applications qui permettent de déterminer, en vertu des formules numériques déduites dans le paragraphe XVI, sous forme simple le second membre de (12).

Première application : r = q=—1, ce qui donnera a — p —15- — Nous aurons le résultat évident

(13) R(p— 1) = [(p—1) = mn.

Deuxième application : q —2, r =1,ce qui donnera a = m. — Nous avons à considérer séparément les deux cas suivants :

1° A estun nombre pair, savoir nm —2n, ce quidonnerap=4r +1; nous aurons le résultat évident

(14) RO) NE rR)—E Tr:

2° Soit, au contraire, » un nombre impair, savoir m — AT k aire, € pair, Savoir Mm—2n +1; ce qui donnera p — 4 nr +3, nous aurons

(15) R(an+i)—T(on+i= (— Hunt DB: