XCIV. — Nombre des résidus dans une série arithmétique

Soit p—2m +1 un nombre premier impair quelconque, et soit & un positif entier plus petit que p, nous avons à étudier les nombres R,, et 145 des résidus, respectivement des non-résidus de p, qui se trouvent parmi les termes de la série arithmétique

(ni) b, ba, b+oa, .\ bHga,

où il faut supposer b+qa<p (1S0E a)

Ces définitions adoptées, nous aurons tout d’abord (2) Rab—+ la b= g +1;

posons ensuite P=am+d (ISA a— 1),

nous avons à déterminer le positif entier c, tel que

(3) b+c+ag=p (o£c£a—1),

ce qui donnera

b+c—=d, DEN) COEERT)

Appliquons maintenant le même procédé que dans le paragraphe précédent, nous aurons ici

(5) Ra,b — lo Ÿ (b+ as)" (mod p),

de sorte que nous avons à étudier la somme de puissances qui figure au second membre de cette congruence.

À cet eflet, prenons pour point de départ les deux formules bien

connues s=47 » / te | ; [ it B+1 (TX + 4) = BCE == sl D (= De. SE Sri È (tx + a)1-s+1 Br) — Be de n+:(æ, (nl s( D) s=0

posons, conformément à la formule (3),

b C LT = —» L— —3 « « nous aurons S=4q sS=n+l

- ESS pi C n——H 1 B, D (b + &S) rl ( 7 ) D: (n—s+ 1) SRE TO a ?

n! an $S=0 S=\0

ce qui donnera, en vertu du théorème de von Staudt et de

Th. Clausen,

Ô : b—a\ (6) D'(b+ sa) =n!ar [5 (- == Bai | : | (mod p),

où il faut supposer 1 £ n £p — 3.

Cela posé, nous aurons immédiatement, en vertu désolé théorème :

MesScrenthe, er 144 les nombres des résidus respectivement des non-résidus parmi les termes de la série arithmétique (1),

nous aurons avec la définition (3) du positif entier c

b—a (7) Rao— V,6= mia” Le (- 2) — Bnes ( )| (mod p).

L’analogie de ce théorème avec celui que nous venons de démontrer dans le paragraphe précédent est évidente.

Considérons tout d’abord les équations (4), puis supposons donnés les nombres & et b, nous aurons à choisir un autre positif entier D,, tel que

(8) b+b;=d ou b+b;=a+d,

selon que b <d ou bZd.

Cela posé, la formule (3) donnera, en vertu de l’équation fonctionnelle de Jacobi,

(9) Ra,6— Tao = (— 1) (Ras, — Tab)

résultat qui est évident du reste.

Soit maintenant d un nombre pair, savoir d = 20, ce qui exige a impair; soit ensuite a + d = 20, ce qui exige aussi & impair; nous aurons en posant, dans (8), b—=b,— à,

ù | Ruë— lao=2m)loatm Ban (— =) (modp), (p=4m+i);

le premier de ces deux résultats est évident aussi. Dans les applications suivantes, nous nous bornons à l'étude des cas particuliers, dont les résultats se présentent sous forme simple.

Première application : a — 2. — Nous avons à étudier séparément les deux cas :

1° p—/{m+ 1; nous aurons les résultats évidents

(11) Riz = mn, Ro = 22 = M;

2° p—=/4im +3; dans ce cas, nous trouvons

\ R2,1 — Li = P,2 — Ro,

| Rule JO SAURA

pre (mod p),