RER , D? 430 QE LS

R31— J3 1=— 4 Br» (mod p);

2° Soit ensuite p —127M—+11, nous aurons de même

\ R31= 31, (18) R3,9— Lo = 13,3 — R3,3, R3o—so=(—1)72B3n+s (mod p).

ce qui donnera finalement (3) | Ri1 —b1=—6B;,:: (mod p), (D=8m +3), Ü Roi—1=--2Bine (mod p ), (P=8m+7).

Deuxième application : a— 1. — 1° Soit pP—=AmMm +1, nous aurons | R;,1 — Li == Rs, — Ts, RUE Ge Ri,: — los (14) 4 à (— 1) | R; 1 — ire l,,3 — R,,3 = — 10 (mod p); 2° Soit p — 4m + 3, nous aurons de même Roi li = li, — Ris, Ri,s—s= li —Rin, R;,3 — L,,3 = (—1)2( 2242 1) (22742 L 2) (modp), RL (— 1} (o2m F2 j)(o2m+2 2 )B,: (mod) ce qui donnera, pour p = 8m + 3, il R:,3= 3, (15) 1 L R,,1 — P1=12B;»+ (modhp), tandis que nous aurons, pour p = 8m + 7; (16) R;,,3 — 1,,3=— 4 Bomio (mod hp), Rs = 1:

Troisième application : a — 3. — 1° L'hypothèse p +i2m—; donnera R39— J39—= 2 +1, (17) Rs 51= 1533 Rss,

Quatrième application : a 6. — 1° p—1i2m+7; dans ce

€as nous avons Rça— [6,1 = T6,6 — Ri,6, Ro — [6,2 = FES R6,5,

R6,3 — I5,3 —= I, Fi R5,;

de plus, nous trouvons

Reu— l61=(—1)#92B3;m+ (mod p),

(19) Rs,o— 6,9 = 2[22%—(—1)"] Bsm+o (mod p), Ro 5,3 (—1) "Ho Bye (mod p ):

2° L'hypothèse p — 12m —=11 donnera Roi L6,1, Ror—1l6:

(20) Ro. — 52 = 16.3 — Rs3=—2{[1+(—1)"] Bn+3 ( mod p), Ro,5— 65 l6,6 R6,6 —= % [1 ( 1)#:] Be ( mod p ). Cinquième application : a = 12. — 1° Soit p — 12m +7, nous

trouvons

(21) Rios = iss= lis Riou (— 1)" 19 Bb; (mod p }:

2° L'hypothèse p — 127 +11 donnera de même

R 9,3 — Lis,3 = 2,8 — Ros=(—i)"t14B;hs (modp), 22) |

Ri2,o— Li9,2 = Lo,9 — Ris o=(— 1)" 4 Bin (mod p),

Désignons par & un positif entier, tel que 1£a£p—1, OÙ p—2m +1 est un nombre premier impair, puis désignons par R,(a) et 1,(a) les sommes des n°" puissances des résidus respecuvement des non-résidus de p qui se trouvent parmi les

nombres (t) Re a:

nous aurons évidemment (2) Rr(a)+l;(a)= Sa(a), Aude que les congruences

am= #1 (mod p),

selon que «& est résidu ou non-résidu de p; donnent de plus

(3) Ra(a) — Ia(a) = Snim(@) (mod p);

DÉS LS) dE MS Sd SA D LÉ dt mn 4 ét désnmbée dns Stay s athée )È, pes Li des dent) Li ne

c'est-à-dire que nous aurons

2Rn(a)=Sn(a) + Surm(a) (modp),

2 [,(a) = Sn(&) — Srrm(a) {mod p).

Etudions tout d'abord le cas & — p — 1; les formules (4) donnent immédiatement le théorème suivant qui est très connu :

CS. à Ê : .

F. Sort P ur nombre premier Umpaur quelconque, ROUS ŒUI'ONS

(5) Ra(p—1)=1n(p—1)=o (modp), fr ei

Appliquons maintenant la congruence (10) du paragraphe LXXXIX,

nous aurons

AT) al) 35, ua) Sa) (mod p°)}; ce qui donnera, en vertu de (2), 4Ra(a)=2 S,(a) + 3 Srtm(a) — Srrsm(a) (mod p?),

| l 4 In (a) — ? SA (A) — 3 Srtm(a) + Sn) (mod p? le de sorte que nous aurons cet autre théorème :